Para cada matriz a seguir, determine A^{-1}, se existir:
A=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}2 & 1 \\\\ 1 & 1 / 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: para cada matriz abaixo, determinar A^{-1}, se existir:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}.
As informações relevantes são exatamente as entradas das duas matrizes A e B. Não há outros dados.]

Passo 2

Vamos aprender a ferramenta padrão para inverter matrizes 2\times2. Considere uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
A quantidade chamada determinante de M é
\det(M)=ad-bc.
Regra prática: a inversa M^{-1} existe se, e somente se, \det(M)\neq 0. Quando existe, há uma fórmula simples:
M^{-1}=\frac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação do que cada símbolo significa:
  • a,b,c,d são as entradas da matriz M;
  • \det(M) é um número (produto ad menos produto bc);
  • o prefactor \frac{1}{\det(M)} escala a matriz adjunta \begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix} para obter a inversa.
    Por que isso funciona (intuição): a fórmula vem de resolver o sistema linear que define a inversa coluna a coluna ou do cálculo da matriz adjunta; o ponto importante para a prova é memorizar a fórmula e recordar de checar \det(M).]

Passo 3

Agora vamos aplicar a fórmula e calcular deteminantes passo a passo. Primeiro, calculamos \det(A) substituindo a,b,c,d pelas entradas de A.

Passo 4

Para A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix} temos a=1, b=1, c=2, d=3. Calcule o determinante:
\det(A)=a d - b c = 1\cdot 3 - 1\cdot 2 = 3-2 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, a inversa existe. Agora aplicamos a fórmula:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.
Vou explicar cada entrada: a posição (1,1) da inversa vem de d=3; a (1,2) vem de -b=-1; a (2,1) vem de -c=-2; a (2,2) vem de a=1. Depois multiplicamos tudo por 1/\det(A)=1, então nada muda.]

Passo 5

Verificação (útil na prova quando der tempo): multiplicar A por A^{-1} deve dar a identidade I_2. Façamos produto A\cdot A^{-1} mostrando cada produto escalar:
A\cdot A^{-1}= \begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 2 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}.
Calcule entrada por entrada:
  • elemento (1,1): 1\cdot 3 + 1\cdot(-2)=3-2=1.
  • elemento (1,2): 1\cdot(-1) + 1\cdot 1 = -1+1=0.
  • elemento (2,1): 2\cdot 3 + 3\cdot(-2)=6-6=0.
  • elemento (2,2): 2\cdot(-1) + 3\cdot 1 = -2+3=1.
    Resultado:
A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_2,
confirmação de que a inversa está correta.]

Passo 6

Agora B=\begin{pmatrix}2 & 1 \\[4pt] 1 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}. Calcule o determinante com a=2, b=1, c=1, d=\frac{1}{2}:
\det(B)=a d - b c = 2\cdot\frac{1}{2} - 1\cdot 1 = 1 - 1 = 0.
Como \det(B)=0, a inversa não existe. Comentário didático: uma forma rápida de ver isso sem cálculos é observar as colunas de B: primeira coluna é \begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}, segunda coluna é \begin{pmatrix}1\\[4pt]\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}. Note que a segunda coluna é exatamente \tfrac{1}{2} vezes a primeira coluna, ou seja, as colunas são linearmente dependentes. Quando as colunas (ou linhas) são linearmente dependentes, a matriz não é invertível.]

Passo 7

Dica prática para a prova (ânimo!): ao ver uma matriz 2\times2, primeiro calcule \det. Se for zero, pare: não existe inversa. Se não for zero, use a fórmula direta \frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b \\\\ -c & a\end{pmatrix}. Isso salva tempo e evita cálculos desnecessários.

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1 \\[4pt] -2 & 1\end{pmatrix}
B^{-1} não existe]

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