Efetue as seguintes multiplicações:
а) \left[\begin{array}{ll}-1 & 4 \\\\ -3 & 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 5 & 4\end{array}\right] \quad b) \left[\begin{array}{cc}-4 & 3 \\\\ 2 & 1 \\\\ 4 & -1\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 4 & -1 & 5\end{array}\right]
c) \left[\begin{array}{ccc}-5 & 1 & 0 \\\\ 4 & -1 & 2\end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\\\ 1 & 0 & 5 \\\\ -3 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para efetuar as multiplicações de três pares de matrizes. As matrizes dadas são:
a) A=\left[\begin{array}{cc}-1 & 4 \\[4pt] -3 & 2\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}2 & 1 \\[4pt] 5 & 4\end{array}\right]
b) A=\left[\begin{array}{cc}-4 & 3 \\[4pt] 2 & 1 \\[4pt] 4 & -1\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\[4pt] 4 & -1 & 5\end{array}\right]
c) A=\left[\begin{array}{ccc}-5 & 1 & 0 \\[4pt] 4 & -1 & 2\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{ccc}4 & 2 & 3 \\[4pt] 1 & 0 & 5 \\[4pt] -3 & 1 & 2\end{array}\right]
O objetivo é calcular cada produto A\cdot B.]

Passo 2

Regra para multiplicação de matrizes (explicação didática): se A tem tamanho m\times p e B tem tamanho p\times n, então o produto C=A\cdot B existe e tem tamanho m\times n. O elemento genérico de C na linha i e coluna j é dado por
c_{ij}=\sum_{k=1}^{p} a_{ik}\,b_{kj},
onde a_{ik} é o elemento da linha i e coluna k de A, e b_{kj} é o elemento da linha k e coluna j de B. Em palavras: cada elemento de C é o produto escalar (dot product) da linha i de A com a coluna j de B.
Exemplo rápido e concreto: para uma linha (x,y) e uma coluna \begin{pmatrix}u\\\ v\end{pmatrix}, o produto escalar é x\cdot u + y\cdot v. Vamos aplicar isso em cada produto do exercício.

Passo 3

Cálculo de (a). Aqui A e B são 2\times2, então o produto é 2\times2. Denotando o resultado por C, calculamos cada c_{ij}:
  • c_{11}= (linha 1 de A) \cdot (coluna 1 de B):
c_{11}=(-1)\cdot 2 + 4\cdot 5 = -2 + 20 = 18.
  • c_{12}= (linha 1 de A) \cdot (coluna 2 de B):
c_{12}=(-1)\cdot 1 + 4\cdot 4 = -1 + 16 = 15.
  • c_{21}= (linha 2 de A) \cdot (coluna 1 de B):
c_{21}=(-3)\cdot 2 + 2\cdot 5 = -6 + 10 = 4.
  • c_{22}= (linha 2 de A) \cdot (coluna 2 de B):
c_{22}=(-3)\cdot 1 + 2\cdot 4 = -3 + 8 = 5.
Portanto o produto (a) é a matriz
\left[\begin{array}{cc}18 & 15 \\[4pt] 4 & 5\end{array}\right].]

Passo 4

Cálculo de (b). Aqui A é 3\times2 e B é 2\times3, então o produto é 3\times3. Denotando o resultado por C, calculamos linha a linha.
Linha 1 de A é (-4,\,3).
  • c_{11}=(-4)\cdot 1 + 3\cdot 4 = -4 + 12 = 8.
  • c_{12}=(-4)\cdot 2 + 3\cdot(-1) = -8 - 3 = -11.
  • c_{13}=(-4)\cdot 3 + 3\cdot 5 = -12 + 15 = 3.
Linha 2 de A é (2,\,1).
  • c_{21}=2\cdot 1 + 1\cdot 4 = 2 + 4 = 6.
  • c_{22}=2\cdot 2 + 1\cdot(-1) = 4 - 1 = 3.
  • c_{23}=2\cdot 3 + 1\cdot 5 = 6 + 5 = 11.
Linha 3 de A é (4,\,-1).
  • c_{31}=4\cdot 1 + (-1)\cdot 4 = 4 - 4 = 0.
  • c_{32}=4\cdot 2 + (-1)\cdot(-1) = 8 + 1 = 9.
  • c_{33}=4\cdot 3 + (-1)\cdot 5 = 12 - 5 = 7.
Portanto o produto (b) é a matriz
\left[\begin{array}{ccc}8 & -11 & 3 \\[4pt] 6 & 3 & 11 \\[4pt] 0 & 9 & 7\end{array}\right].]

Passo 5

Cálculo de (c). Aqui A é 2\times3 e B é 3\times3, então o produto é 2\times3. Denotando o resultado por C, calculamos:
Linha 1 de A é (-5,\,1,\,0).
  • c_{11}=(-5)\cdot 4 + 1\cdot 1 + 0\cdot(-3) = -20 + 1 + 0 = -19.
  • c_{12}=(-5)\cdot 2 + 1\cdot 0 + 0\cdot 1 = -10 + 0 + 0 = -10.
  • c_{13}=(-5)\cdot 3 + 1\cdot 5 + 0\cdot 2 = -15 + 5 + 0 = -10.
Linha 2 de A é (4,\,-1,\,2).
  • c_{21}=4\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-3) = 16 -1 -6 = 9.
  • c_{22}=4\cdot 2 + (-1)\cdot 0 + 2\cdot 1 = 8 + 0 + 2 = 10.
  • c_{23}=4\cdot 3 + (-1)\cdot 5 + 2\cdot 2 = 12 -5 + 4 = 11.
Portanto o produto (c) é a matriz
\left[\begin{array}{ccc}-19 & -10 & -10 \\[4pt] 9 & 10 & 11\end{array}\right].]

Resposta

\left[\begin{array}{cc}18 & 15 \\[4pt] 4 & 5\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}8 & -11 & 3 \\[4pt] 6 & 3 & 11 \\[4pt] 0 & 9 & 7\end{array}\right]
\left[\begin{array}{ccc}-19 & -10 & -10 \\[4pt] 9 & 10 & 11\end{array}\right]]

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