Determine a matriz inversa da matriz A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 0\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}
e pede para determinar a matriz inversa de A.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os quatro elementos de A são \,1,\,2,\,3,\,0.
A pergunta é única e clara: calcular A^{-1}.]

Passo 2

Vou explicar uma fórmula prática e direta para inverter matrizes 2\times2. Seja uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
O determinante de A é dado por
\det(A)=ad-bc.
Essa quantidade mede (de forma simples) se a matriz é invertível: se \det(A)=0 então A não tem inversa; se \det(A)\neq 0 então a inversa existe e é dada por
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação rápida do motivo: para 2\times2 a matriz de cofatores (cofator de cada entrada) transposta — chamada de adjunta ou adjugate — é \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}. Multiplicar essa adjunta por A \det(A) vezes a identidade, então dividindo por \det(A) obtemos a inversa. Não precisa decorar mais que essa regra simples para 2\times2.]

Passo 3

Agora aplico isso à nossa matriz. Identifico os coeficientes:
a=1,\quad b=2,\quad c=3,\quad d=0.

Passo 4

Calculo o determinante usando \det(A)=ad-bc:
\det(A)=1\cdot 0 - 2\cdot 3 = 0 - 6 = -6.
Como \det(A)=-6\neq 0, a matriz A é invertível e posso usar a fórmula do passo anterior.

Passo 5

Formo a matriz dos cofatores transposta (adjunta) trocando a e d e mudando o sinal dos off-diagonais:
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 6

Multiplico essa matriz pelo fator escalar 1/\det(A)=1/(-6):
A^{-1}=\frac{1}{-6}\begin{pmatrix}0 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{0}{-6} & \dfrac{-2}{-6} \\[6pt] \dfrac{-3}{-6} & \dfrac{1}{-6}\end{pmatrix}.
Agora simplifico cada entrada:
\dfrac{0}{-6}=0,\quad \dfrac{-2}{-6}=\dfrac{1}{3},\quad \dfrac{-3}{-6}=\dfrac{1}{2},\quad \dfrac{1}{-6}=-\dfrac{1}{6}.]

Passo 7

Portanto obtemos
A^{-1}=\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{3} \\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{6}\end{pmatrix}.
É sempre bom checar multiplicando A por A^{-1} para ver se dá a identidade. Faço a verificação elemento a elemento:
Primeira linha, primeira coluna:
1\cdot 0 + 2\cdot \tfrac{1}{2} = 0 + 1 = 1.
Primeira linha, segunda coluna:
1\cdot \tfrac{1}{3} + 2\cdot \Big(-\tfrac{1}{6}\Big) = \tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{3} = 0.
Segunda linha, primeira coluna:
3\cdot 0 + 0\cdot \tfrac{1}{2} = 0.
Segunda linha, segunda coluna:
3\cdot \tfrac{1}{3} + 0\cdot \Big(-\tfrac{1}{6}\Big) = 1 + 0 = 1.
Como o produto deu a matriz identidade, a inversa está correta.]

Resposta

\begin{pmatrix}0 & \tfrac{1}{3} \\[6pt] \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{6}\end{pmatrix}]

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