Determine a matriz inversa da matriz A=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 3 & 0\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & 0\end{pmatrix}
e pede para determinar a matriz inversa de A.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: os quatro elementos de A são \,1,\,2,\,3,\,0.
A pergunta é única e clara: calcular A^{-1}.]
Passo 2
Vou explicar uma fórmula prática e direta para inverter matrizes 2\times2. Seja uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
O determinante de A é dado por
\det(A)=ad-bc.
Essa quantidade mede (de forma simples) se a matriz é invertível: se \det(A)=0 então A não tem inversa; se \det(A)\neq 0 então a inversa existe e é dada por
Explicação rápida do motivo: para 2\times2 a matriz de cofatores (cofator de cada entrada) transposta — chamada de adjunta ou adjugate — é \begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}. Multiplicar essa adjunta por A dá \det(A) vezes a identidade, então dividindo por \det(A) obtemos a inversa. Não precisa decorar mais que essa regra simples para 2\times2.]
Passo 3
Agora aplico isso à nossa matriz. Identifico os coeficientes:
a=1,\quad b=2,\quad c=3,\quad d=0.
Passo 4
Calculo o determinante usando \det(A)=ad-bc:
\det(A)=1\cdot 0 - 2\cdot 3 = 0 - 6 = -6.
Como \det(A)=-6\neq 0, a matriz A é invertível e posso usar a fórmula do passo anterior.
Passo 5
Formo a matriz dos cofatores transposta (adjunta) trocando a e d e mudando o sinal dos off-diagonais: