Para cada uma das matrizes abaixo, determine se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
B=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\ 0 & 1 & 3 \\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para classificar a matriz
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\[6pt] 0 & 1 & 3\\[6pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
como estando em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Para isso, vamos usar as definições de forma escalonada e de forma escalonada reduzida de uma matriz.]

Passo 2

Definição de forma escalonada (row echelon form):
  1. Toda linha composta só por zeros (se existir) fica abaixo das demais.
  2. O primeiro elemento não nulo (pivot) de cada linha está estritamente à direita do pivot da linha anterior.
  3. Abaixo de cada pivot, todos os elementos devem ser zero.

Passo 3

Verificação de forma escalonada em B:
  • Não há linhas nulas, então a condição (1) é automaticamente satisfeita.
  • Na linha 1 o pivot é 1 em (1,1); na linha 2 o pivot é 1 em (2,2), que está à direita de (1,1); na linha 3 o pivot é 1 em (3,3), que está à direita de (2,2). Portanto, atende à condição (2).
  • Abaixo de cada pivot todos os elementos são zero (a matriz é triangular superior). Então a condição (3) também vale.
Logo, B está em forma escalonada.

Passo 4

Definição de forma escalonada reduzida (reduced row echelon form):
além de satisfazer todas as condições da forma escalonada, deve ter:
4. Cada pivot vale 1.
5. Em cada coluna de pivot, este é o único elemento não nulo (ou seja, zeros acima e abaixo do pivot).

Passo 5

Verificação de forma escalonada reduzida em B:
  • Cada pivot em B vale 1.
  • Na coluna 1 o único elemento não nulo é o pivot em (1,1); na coluna 2 o único elemento não nulo é o pivot em (2,2); na coluna 3 o único elemento não nulo é o pivot em (3,3).
Portanto, B satisfaz todas as condições de forma escalonada reduzida.

Resposta

A matriz B está em forma escalonada reduzida.

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