Para cada uma das matrizes abaixo, determine se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas. Justifique sua resposta.
A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\\ 0 & 1 & 3 \\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\\\ 0 & 1 & 3\\\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
e pede para determinar se ela está em forma escalonada, forma escalonada reduzida ou nenhuma das duas.

Passo 2

Forma escalonada (row echelon form) exige três condições:
  1. Todas as linhas nulas estão abaixo das linhas não nulas.
  2. O primeiro elemento não nulo de cada linha (pivot) está estritamente à direita do pivot da linha acima.
  3. Abaixo de cada pivot, todos os elementos são zero.

Passo 3

Verificamos em A:
  1. A terceira linha é toda zero e está abaixo das linhas 1 e 2 (ok).
  2. O pivot da linha 1 está na coluna 1; o pivot da linha 2 está na coluna 2, que é à direita da coluna 1 (ok).
  3. Abaixo de cada pivot (nas colunas 1 e 2) todos os elementos são zero (ok).
Logo, A satisfaz todas as condições de forma escalonada.

Passo 4

Forma escalonada reduzida (reduced row echelon form) exige ainda:
  1. Cada pivot vale 1.
  2. Em cada coluna de pivot, todos os outros elementos (acima e abaixo) são zero.
Em A os pivots já valem 1, mas na coluna 2, além do pivot em (2,2), há o valor 2 em (1,2). Isso viola a condição de zeros acima do pivot.

Resposta

A está em forma escalonada, mas não está em forma escalonada reduzida.

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