Para cada uma das matrizes abaixo, encontre uma forma escalonada, encontre os pivôs e determine o posto.
(b) B=\left[\begin{array}{cccc}2 & 1 & 3 & 4 \\\\ 3 & 2 & 4 & 5 \\\\ 2 & 2 & 1 & 0 \\\\ -2 & 1 & 3 & 1\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para, dada a matriz
B=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\\\ 3 & 2 & 4 & 5\\\\ 2 & 2 & 1 & 0\\\\ -2 & 1 & 3 & 1 \end{pmatrix},
fazer eliminação de Gauss até chegar numa forma escalonada, identificar os pivôs (valores e posições) e, a partir deles, determinar o posto de B. Vamos usar operações elementares de linha para isso.

Passo 2

Escolhemos como primeiro pivô o elemento b_{11}=2. Eliminamos abaixo:
  • L_2\leftarrow L_2-\tfrac32\,L_1
  • L_3\leftarrow L_3-1\cdot L_1
  • L_4\leftarrow L_4+1\cdot L_1
    Isso leva a
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\[6pt] 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & -1\\[3pt] 0 & 1 & -2 & -4\\[3pt] 0 & 2 & 6 & 5 \end{pmatrix}.]

Passo 3

O segundo pivô é agora o elemento \tfrac12 na posição (2,2). Eliminamos abaixo:
  • L_3\leftarrow L_3-2\cdot L_2
  • L_4\leftarrow L_4-4\cdot L_2
    Fica
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\[6pt] 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & -1\\[3pt] 0 & 0 & -1 & -2\\[3pt] 0 & 0 & 8 & 9 \end{pmatrix}.]

Passo 4

O terceiro pivô é -1 em (3,3). Eliminamos em L_4:
  • L_4\leftarrow L_4+8\cdot L_3
    Isso produz a forma escalonada final
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\[6pt] 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & -1\\[3pt] 0 & 0 & -1 & -2\\[3pt] 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Os pivôs são os elementos não nulos na diagonal desta forma escalonada, a saber:
• pivô 1: \;2 na posição (1,1)
• pivô 2: \;\tfrac12 na posição (2,2)
• pivô 3: -1 na posição (3,3)
• pivô 4: -7 na posição (4,4)
O número de pivôs é igual a 4, logo o posto de B é 4.

Resposta

A forma escalonada encontrada é
\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 & 4\\\\ 0 & \tfrac12 & -\tfrac12 & -1\\\\ 0 & 0 & -1 & -2\\\\ 0 & 0 & 0 & -7 \end{pmatrix},
os pivôs são 2,\tfrac12,-1,-7 nas colunas 1, 2, 3 e 4, e o posto de B é 4.

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