Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -3 \\\\ 3 \\\\ 3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ -2\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-2 \\\\ 2 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}2 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 0\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 1 \\\\ -1 \\\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}1 \\\\ -1 \\\\ 1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4 e pede o ponto de interseção. O conteúdo é interseção de subespaços afins: vamos parametrizar cada plano com parâmetros \alpha,\beta e \gamma,\delta, igualar coordenadas e resolver o sistema resultante.

Passo 2

Parametrização do primeiro plano:
\mathbf{x} =\begin{pmatrix}2\\\ -3\\\ 3\\\ 3\end{pmatrix} +\alpha\begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}-2\\\ 2\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix}.
Em coordenadas:
x_1 = 2 -2(\alpha+\beta),\quad x_2 = -3 +2(\alpha+\beta),\quad x_3 = 3,\quad x_4 = 3 -2\alpha -3\beta.
Parametrização do segundo plano:
\mathbf{x} =\begin{pmatrix}2\\\ -1\\\ -1\\\ 0\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ -1\\\ -1\end{pmatrix} +\delta\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 2\end{pmatrix}.
Em coordenadas:
x_1 = 2 + \delta,\quad x_2 = -1 + \gamma - \delta,\quad x_3 = -1 - \gamma + \delta,\quad x_4 = -\gamma +2\delta.

Passo 3

Igualando componente a componente obtemos o sistema
\begin{cases} 2 -2(\alpha+\beta) = 2 + \delta,\\\\ -3 +2(\alpha+\beta) = -1 + \gamma - \delta,\\\\ 3 = -1 - \gamma + \delta,\\\\ 3 -2\alpha -3\beta = -\gamma + 2\delta. \end{cases}

Passo 4

Da terceira equação
-1 - \gamma + \delta = 3 \quad\Longrightarrow\quad \delta - \gamma = 4.
Substituindo em segunda equação
2(\alpha+\beta) = 2 + (\gamma - \delta) = 2 - 4 = -2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha + \beta = -1.
Da primeira equação
2 -2(-1) = 2 + \delta \quad\Longrightarrow\quad 4 = 2 + \delta \quad\Longrightarrow\quad \delta = 2,\quad \gamma = \delta - 4 = -2.

Passo 5

Com \gamma=-2 e \delta=2, a quarta equação vira
3 -2\alpha -3\beta = -(-2) + 2\cdot2 = 6 \quad\Longrightarrow\quad -2\alpha -3\beta = 3 \quad\Longrightarrow\quad 2\alpha +3\beta = -3.
Juntando com \alpha + \beta = -1 e resolvendo, obtemos
\beta = -1, \quad \alpha = 0.

Passo 6

Finalmente, o ponto de interseção tem
x_1 = 2 -2(\alpha + \beta) = 2 -2(0 - 1) = 4.

Resposta

(C)

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