Considere as matrizes A=[3], B=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 4 & -3\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}-3 & 2 & 1 \\\\ 2 & -4 & 1 \\\\ -2 & -3 & 0\end{array}\right], D=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 5 & -7 \\\\ -2 & 3 & 2\end{array}\right] e E= \left[\begin{array}{cccc}2 & 3 & -3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & -4\end{array}\right]. Calcule os determinantes abaixo.
(e) \operatorname{det}(E).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
E = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \\\\ 3 & 2 & -1 & 0 \\\\ 0 & 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante de matriz 4\times4. Vamos usar operações elementares de linha para transformar E em uma matriz triangular superior, lembrando que somar um múltiplo de uma linha em outra não altera o determinante. No final, \det(E) será o produto dos elementos da diagonal.

Passo 2

Eliminamos o elemento abaixo de 2 na primeira coluna. Tomamos
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{3}{2}\,R_1,
pois R_3 tem 3 e R_1 tem 2. Isso gera
R_3 = \bigl(3,\,2,\,-1,\,0\bigr) - \tfrac{3}{2}\bigl(2,\,3,\,-3,\,-2\bigr) = \bigl(0,\,-\tfrac{5}{2},\,\tfrac{7}{2},\,3\bigr).
As demais linhas não mudam nessa etapa.

Passo 3

Agora a matriz está
\begin{pmatrix} 2 & 3 & -3 & -2 \\\\ 0 & -1 & 1 & 4 \\\\ 0 & -tfrac{5}{2} & \tfrac{7}{2} & 3 \\\\ 0 & 2 & -2 & -4 \end{pmatrix}.
Usamos o pivô -1 em (2,2) para zerar abaixo:
Para zerar em R_3, fazemos
R_3 \leftarrow R_3 - \Bigl(\tfrac{-5/2}{-1}\Bigr)R_2 = R_3 - \tfrac{5}{2}R_2,
resultando em
R_3 = \bigl(0,0,1,-7\bigr).
Para zerar em R_4, fazemos
R_4 \leftarrow R_4 - \Bigl(\tfrac{2}{-1}\Bigr)R_2 = R_4 + 2\,R_2,
que dá
R_4 = \bigl(0,0,0,4\bigr).

Passo 4

Agora a matriz está na forma triangular superior
\begin{pmatrix} 2 & * & * & * \\\\ 0 & -1 & * & * \\\\ 0 & 0 & 1 & * \\\\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix},
onde “ *” não interessa para o determinante. Por ser triangular,
\det(E) = 2 \times (-1) \times 1 \times 4 = -8.

Resposta

\det(E) = -8.

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