Para cada uma das matrizes abaixo encontre todos os valores de \lambda \in \mathbb{R} tais que \operatorname{det}(A-\lambda I)=0.
(a) A=\left[ \begin{array}{rrr}3 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & -3 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores reais \lambda tais que
\det\bigl(A - \lambda I\bigr)=0
para a matriz triangular superior
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & -3\\\\ 0 & 2 & -3\\\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
O conteúdo principal aqui é a propriedade de que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 2

Escrevendo
A - \lambda I = \begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & -3\\\\ 0 & 2-\lambda & -3\\\\ 0 & 0 & -1-\lambda \end{pmatrix},
vemos que é novamente triangular superior. Logo,
\det\bigl(A - \lambda I\bigr) =(3-\lambda)\,(2-\lambda)\,(-1-\lambda).

Passo 3

Para que o determinante seja zero, basta que um dos fatores seja zero. Assim, resolvemos
3 - \lambda = 0,\quad 2 - \lambda = 0,\quad -1 - \lambda = 0,
resultando em
\lambda = 3,\quad \lambda = 2,\quad \lambda = -1.

Resposta

\lambda = 3,\;2,\;-1

Exercícios relacionados