Calcule o determinante das matrizes abaixo usando a expansão de Laplace (expansão em cofatores):
(b) B=\left[\begin{array}{rrrr}1 & -2 & 0 & 5 \\\\ 2 & 3 & 1 & -2 \\\\ 0 & 2 & -1 & 3 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
B=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 5\\\\ 2 & 3 & 1 & -2\\\\ 0 & 2 & -1 & 3\\\\ 3 & 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}
usando expansão de Laplace (expansão em cofatores). O que precisamos é da definição de menor M_{ij} e cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, além de escolher uma linha ou coluna com zeros para simplificar o cálculo.

Passo 2

Vamos expandir \det(B) ao longo da primeira linha, pois b_{13}=0. Pela fórmula
\det(B)=\sum_{j=1}^{4}(-1)^{1+j}\,b_{1j}\,M_{1j},
ficamos com
\det(B) = b_{11}\,M_{11} - b_{12}\,M_{12} + b_{13}\,M_{13} - b_{14}\,M_{14}.
Como b_{13}=0, só precisamos de M_{11}, M_{12} e M_{14}.

Passo 3

Calcular M_{11}: é o determinante do sub-bloco que sobra ao excluir linha 1 e coluna 1:
M_{11}=\det\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
Usando regra de Sarrus ou cofactores internos,
M_{11} =3\,( -1\cdot2 - 3\cdot0 ) - 1\,( 2\cdot2 - 3\cdot1 ) +(-2)\,( 2\cdot0 - (-1)\cdot1 ) =3\,( -2 ) - (4-3) +(-2)\,(0+1) =-6 -1 -2 =-9.

Passo 4

Calcular M_{12}: sub-bloco excluindo linha 1 e coluna 2:
M_{12}=\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & -2\\\\ 0 & -1 & 3\\\\ 3 & 0 & 2 \end{pmatrix} =2\,( -1\cdot2 - 3\cdot0 ) -1\,( 0\cdot2 - 3\cdot3 ) +(-2)\,( 0\cdot0 - (-1)\cdot3 ) =2\,( -2 ) - (0-9) +(-2)\,(0+3) =-4 +9 -6 =-1.

Passo 5

Calcular M_{14}: sub-bloco excluindo linha 1 e coluna 4:
M_{14}=\det\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1\\\\ 0 & 2 & -1\\\\ 3 & 1 & 0 \end{pmatrix} =2\,(2\cdot0 - (-1)\cdot1) -3\,(0\cdot0 -(-1)\cdot3) +1\,(0\cdot1 - 2\cdot3) =2\,(0+1) -3\,(0+3) + (0-6) =2 -9 -6 =-13.

Passo 6

Agora substituímos em
\det(B) = b_{11}\,M_{11} - b_{12}\,M_{12} - b_{14}\,M_{14} =1\cdot(-9) - (-2)\cdot(-1) - 5\cdot(-13).
Isso dá
\det(B) = -9 -2 +65 = 54.

Resposta

\det(B)=54.

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