Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados: B=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 2 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ -2 & -4 & 1\end{array}\right],
Pedido: encontrar todos os autovalores \lambda e, para cada autovalor, encontrar os autovetores associados (todos os vetores não-nulos v tais que Bv=\lambda v).]
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
Definição: um escalar \lambda é autovalor de B se existir vetor não-nulo v com Bv=\lambda v. Equivalente a resolver (B-\lambda I)v=0.
Para encontrar \lambda calculamos o polinômio característico \det(B-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e \det é o determinante.
Passo prático: montar B-\lambda I, calcular seu determinante e resolver a equação polinomial em \lambda.
Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos z=0\].
- Com \(z=0, da segunda equação x+2y=0, então x=-2y.
- A terceira equação fica redundante (confere com os dois anteriores).
- Portanto o espaço próprio associado a \lambda=2 é
Verificação rápida (intuitiva): substituir v_3 em (B-(3-2i)I)v_3 dá zero por conjugação do cálculo anterior.]
Passo 8
Resumo final e observações práticas:
Autovalores: um real (2) e um par complexo conjugado (3\pm2i).
Espaços próprios: para \lambda=2 o espaço próprio é unidimensional gerado por \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Para cada \lambda=3\pm2i o espaço próprio é unidimensional (sobre \mathbb{C}) gerado por v_2 e v_3 dados acima.
Dica para prova: ao aparecer matriz real com polinômio característico que não fatora totalmente em reias, espere pares complexos conjugados. Para achar autovetores complexos, escolha um parâmetro (como z), resolva por substituição e escolha um valor conveniente para eliminar denominadores.
Resposta
\lambda_1=2 com autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
\lambda_2=3+2i com autovetor (por exemplo) \begin{pmatrix}-1-3i\\[4pt]-2-i\\[4pt]5\end{pmatrix}.
\lambda_3=3-2i com autovetor (por exemplo) \begin{pmatrix}-1+3i\\[4pt]-2+i\\[4pt]5\end{pmatrix}.]