Em cada uma das matrizes, encontre todos os autovalores e autovetores associados:
B=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 2 \\\\ 1 & 4 & 1 \\\\ -2 & -4 & 1\end{array}\right],

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos:
  • Matriz dada:
B=\begin{pmatrix}3 & 2 & 2 \\[4pt] 1 & 4 & 1 \\[4pt] -2 & -4 & 1\end{pmatrix}.
  • Pedido: encontrar todos os autovalores \lambda e, para cada autovalor, encontrar os autovetores associados (todos os vetores não-nulos v tais que Bv=\lambda v).]

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Definição: um escalar \lambda é autovalor de B se existir vetor não-nulo v com Bv=\lambda v. Equivalente a resolver (B-\lambda I)v=0.
  • Para encontrar \lambda calculamos o polinômio característico \det(B-\lambda I)=0. Aqui I é a matriz identidade 3\times3 e \det é o determinante.
  • Passo prático: montar B-\lambda I, calcular seu determinante e resolver a equação polinomial em \lambda.

Passo 3

Montar B-\lambda I e calcular o determinante:
B-\lambda I=\begin{pmatrix} 3-\lambda & 2 & 2\\[4pt] 1 & 4-\lambda & 1\\[4pt] -2 & -4 & 1-\lambda \end{pmatrix}.
Calcula-se o determinante por expansão (uma maneira direta):
\begin{aligned} \det(B-\lambda I)&=(3-\lambda)\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1\\[4pt]-4 & 1-\lambda\end{pmatrix} -2\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 1-\lambda\end{pmatrix} +2\det\begin{pmatrix}1 & 4-\lambda\\[4pt]-2 & -4\end{pmatrix}. \end{aligned}
Agora calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}4-\lambda & 1\\[4pt]-4 & 1-\lambda\end{pmatrix}=(4-\lambda)(1-\lambda)-1\cdot(-4) =\lambda^2-5\lambda+8.
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]-2 & 1-\lambda\end{pmatrix}=1(1-\lambda)-1(-2)=3-\lambda.
\det\begin{pmatrix}1 & 4-\lambda\\[4pt]-2 & -4\end{pmatrix}=1(-4)-(4-\lambda)(-2)=4-2\lambda.
Substituindo:
\det(B-\lambda I)=(3-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+8)-2(3-\lambda)+2(4-2\lambda).
Simplifico termo a termo:
(3-\lambda)(\lambda^2-5\lambda+8)= -\lambda^3+8\lambda^2-23\lambda+24.
Os outros termos somam -2(3-\lambda)+2(4-2\lambda)= -6+2\lambda+8-4\lambda=2-2\lambda.
Logo
\det(B-\lambda I)=-\lambda^3+8\lambda^2-25\lambda+26.
Multiplicando por -1 (para ficar com coeficiente líder positivo):
p(\lambda)=\lambda^3-8\lambda^2+25\lambda-26.
Os autovalores são as raízes de p(\lambda)=0.]

Passo 4

Encontrar as raízes do polinômio cúbico:
  • Tentar raízes racionais possíveis \pm1,\pm2,\pm13,\pm26. Testo \lambda=2:
p(2)=2^3-8\cdot2^2+25\cdot2-26=8-32+50-26=0,
portanto \lambda=2 é raiz.
  • Divido o polinômio por (\lambda-2) (divisão sintética):
    coeficientes 1,\,-8,\,25,\,-26. Dividindo por 2 obtemos quociente \lambda^2-6\lambda+13.
  • Resolver a quadrática:
\lambda^2-6\lambda+13=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=\frac{6\pm\sqrt{36-52}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{-16}}{2}=3\pm2i.
Conclusão: os três autovalores são
\lambda_1=2,\qquad \lambda_2=3+2i,\qquad \lambda_3=3-2i.
Observação didática: a matriz B é real, por isso raízes complexas aparecem em conjugados.

Passo 5

Encontrar autovetores para \lambda=2\): - Resolver \((B-2I)v=0\). Calculo \(B-2I\): \[B-2I=\begin{pmatrix}1 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 2 & 1\\[4pt]-2 & -4 & -1\end{pmatrix}.
Se v=(x,y,z)^T, o sistema é
\begin{cases} x+2y+2z=0,\\[4pt] x+2y+z=0,\\[4pt] -2x-4y-z=0. \end{cases}
  • Subtraindo a segunda equação da primeira obtemos z=0\]. - Com \(z=0, da segunda equação x+2y=0, então x=-2y.
    - A terceira equação fica redundante (confere com os dois anteriores).
    - Portanto o espaço próprio associado a \lambda=2 é
\{\,y(-2,1,0)^T \mid y\in\mathbb{R},\\ y\neq0\,\},
ou seja, todos os múltiplos do vetor (-2,1,0)^T. Podemos escolher como autovetor básico
v_1=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.]

Passo 6

Encontrar autovetor para \lambda=3+2i\) (explicação passo a passo com números complexos): - Montar \(B-(3+2i)I\): \[B-(3+2i)I=\begin{pmatrix}-2i & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1-2i & 1\\[4pt] -2 & -4 & -2-2i\end{pmatrix}.
Procuramos v=(x,y,z)^T\in\mathbb{C}^3 não-nulo tal que (B-(3+2i)I)v=0.
Escrevo as equações:
\begin{cases} -2i\,x+2y+2z=0,\\[4pt] x+(1-2i)y+z=0,\\[4pt] -2x-4y+(-2-2i)z=0. \end{cases}
  • Método prático: tomar z=t\] como parâmetro e resolver para \(y e x.
Da segunda equação:
x=-(1-2i)y - z.
Substituo em (1). Depois de simplificar chega-se a uma relação linear entre y e z. Executando a álgebra:
(6+2i)y+(2+2i)z=0 \quad\Rightarrow\quad (3+i)y+(1+i)z=0.
Assim
y=-\frac{1+i}{3+i}\,z.
Simplifico a fração multiplicando numerador e denominador por 3-i:
\frac{1+i}{3+i}=\frac{(1+i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}=\frac{4+2i}{10}=\frac{2+i}{5},
portanto
y=-\frac{2+i}{5}\,z.
  • Agora obtenho x pela relação x=-(1-2i)y - z. Substituindo y (e simplificando) obtem-se
x=-\frac{1+3i}{5}\,z\quad\text{(após simplificação dá }x=\tfrac{-1-3i}{5}z\text{)}.óçãá
  • Tomando z=5 (escolha prática para eliminar denominadores) obtemos o autovetor
v_2=\begin{pmatrix}-1-3i\\[4pt]-2-i\\[4pt]5\end{pmatrix}
associado a \lambda=3+2i.]

Passo 7

Autovetor para \lambda=3-2i:
  • Como B é real, ao conjugarmos v_2 obtemos um autovetor para o autovalor conjugado. Logo um autovetor para \lambda=3-2i é
v_3=\overline{v_2}=\begin{pmatrix}-1+3i\\[4pt]-2+i\\[4pt]5\end{pmatrix}.
  • Verificação rápida (intuitiva): substituir v_3 em (B-(3-2i)I)v_3 dá zero por conjugação do cálculo anterior.]

Passo 8

Resumo final e observações práticas:
  • Autovalores: um real ( 2) e um par complexo conjugado ( 3\pm2i).
  • Espaços próprios: para \lambda=2 o espaço próprio é unidimensional gerado por \begin{pmatrix}-2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}. Para cada \lambda=3\pm2i o espaço próprio é unidimensional (sobre \mathbb{C}) gerado por v_2 e v_3 dados acima.
  • Dica para prova: ao aparecer matriz real com polinômio característico que não fatora totalmente em reias, espere pares complexos conjugados. Para achar autovetores complexos, escolha um parâmetro (como z), resolva por substituição e escolha um valor conveniente para eliminar denominadores.

Resposta

\lambda_1=2 com autovetores proporcionais a \begin{pmatrix}-2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
\lambda_2=3+2i com autovetor (por exemplo) \begin{pmatrix}-1-3i\\[4pt]-2-i\\[4pt]5\end{pmatrix}.
\lambda_3=3-2i com autovetor (por exemplo) \begin{pmatrix}-1+3i\\[4pt]-2+i\\[4pt]5\end{pmatrix}.]

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