Sejam a função de produção de uma empresa a Cobb-Douglas P(K, L)=b L^{\alpha} K^{1-\alpha} com b>0 e \alpha<1 constantes fixas e K e L representando, respectivamente, as quantidades de capital e trabalho.
(a) Se o custo de uma unidade de capital é m e de uma unidade de trabalho é n e se a empresa só pode gastar p dólares com o orçamento total, maximize a função de produção P. (monte o problema de otimização com a restrição, ache o ponto estacionário e mostre, calculando a hessiana orlada, que é um ponto de máximo. Além disso, determine o valor de \lambda= multiplicador de Lagrangre).
(b) Considere no item (a) os seguintes valores para os parâmetros \alpha=0.75, m=3, n=2 e p=350 qual é a produção máxima?
(c) Use o valor do multiplicador de Lagrange obtido no item (b) para responder qual será a produção se a restrição orçamentária for de \ 250$.
(d) Usando os valores dos parâmetros dados no item (b) e usando o teorema da envoltória (ou teorema do envelope) estime qual será o valor máximo da produção se na restrição orçamentária tivermos m=1.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
Dados do problema:
Função de produção Cobb–Douglas \;P(K,L)=b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}, com b>0 e \alpha<1 constantes fixas.
Custos unitários: capital custa m por unidade e trabalho custa n por unidade.
Orçamento total: p (a empresa só pode gastar \$p).
No item (b) aparecem valores numéricos: \alpha=0,75, m=3, n=2, p=350.
O que o enunciado pede:
(a) Montar o problema de otimização com a restrição orçamentária, achar o ponto estacionário (K,L) que maximiza P, calcular a hessiana orlada (borded Hessian) e mostrar que o ponto é máximo. Além disso, determinar o valor do multiplicador de Lagrange \lambda.
(b) Com \alpha=0,75, m=3, n=2, p=350 — qual é a produção máxima?
(c) Usando o valor de \lambda obtido em (b), qual será a produção se o orçamento for \$250 ? (usar \lambda para responder).
(d) Com os mesmos parâmetros de (b), usar o teorema da envoltória (envelope theorem) para estimar o valor máximo da produção se agora m=1.
Passo 2
Formulemos o problema de otimização (escrevendo claramente a restrição e a Lagrangiana).
Problema: maximizar \;P(K,L)=b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}\; sujeito a \;mK+nL=p.
Montamos a Lagrangiana (multiplicador \lambda associado à restrição de igualdade):
\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K}=b(1-\alpha)L^{\alpha}K^{-\alpha}-\lambda m=0.
Aqui usei a regra potência: derivada de K^{1-\alpha} é (1-\alpha)K^{-\alpha}.
\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}=b\alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}-\lambda n=0.
Análogo, derivada de L^{\alpha} é \alpha L^{\alpha-1}.
\displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=p-mK-nL=0, que é a própria restrição orçamentária.
Passo 4
Achar relação entre K e L a partir das FOC (passo importante para resolver o sistema).
Das duas primeiras equações temos expressões para \lambda:
Comentário didático: isso tem uma interpretação econômica simples — a fração \alpha do orçamento é gasta em trabalho L e a fração 1-\alpha é gasta em capital K. Essa propriedade é típica da Cobb–Douglas.
Passo 6
Calcular o multiplicador de Lagrange \lambda em função dos parâmetros (usar uma das FOC).
Usamos a equação \lambda n=b\alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha} e substituímos L^* e K^*.
Primeiro calculo simbólico geral: substituindo L^*=\dfrac{\alpha p}{n} e K^*=\dfrac{(1-\alpha)p}{m} e simplificando potências, verifica-se que o fator p some (exponencialmente) e obtemos uma expressão que não depende de p:
Explicação do cancelamento: ao multiplicar L^{\alpha-1}K^{1-\alpha} as potências de p somam (\alpha-1)+(1-\alpha)=0, por isso \lambda não depende de p.
A restrição g(K,L)=mK+nL-p=0 tem derivadas parciais g_K=m e g_L=n.
A hessiana orlada (matriz 3x3) é
H_B= \begin{pmatrix} 0 & m & n\\[4pt] m & \mathcal{L}_{KK} & \mathcal{L}_{KL}\\[4pt] n & \mathcal{L}_{LK} & \mathcal{L}_{LL} \end{pmatrix}.
Calculamos o determinante dessa matriz (é prático fazer fatorações): após alguma álgebra (fatorando b\alpha(1-\alpha)L^{\alpha-2}K^{-\alpha-1}) obtemos
Para um problema econômico típico assumimos 0<\alpha<1, b>0 e K>0,L>0. Assim todo o produto acima é positivo, ou seja \det(H_B)>0.
Conectando ao teste de segunda ordem (explicação prática, sem formalismos pesados):
Se considerarmos variações viáveis (\delta K,\delta L) que satisfazem a restrição linearizada m\,\delta K+n\,\delta L=0, e substituirmos na forma quadrática dada pelas segundas derivadas, obtemos que a segunda variação tem sinal negativo (a conta leva ao negativo do determinante acima dividido por m^2). Conclusão: a segunda variação é negativa para todas as direções admissíveis, logo o ponto crítico é um máximo local (na verdade global no domínio positivo para Cobb–Douglas).
Portanto, pelo sinal do determinante da hessiana orlada e pelo cálculo da segunda variação, o ponto (K^*,L^*) é um ponto de máximo sujeito à restrição.]
Passo 8
Calcular a produção máxima geral P^* em função dos parâmetros (fórmula fechada).
Substituímos K^*=\dfrac{(1-\alpha)p}{m} e L^*=\dfrac{\alpha p}{n} na função de produção:
Observação importante: P^* é linear em p — isto explicará por que \lambda=\partial P^*/\partial p é independente de p.
Passo 9
Item (b): aplique os valores numéricos \alpha=0{,}75, m=3, n=2, p=350. Como b não foi especificado no enunciado, mantemos b simbólico (se b=1 obtemos o valor numérico puro). Calculemos o valor numérico do fator multiplicativo.
o que dá o mesmo número, porque P^* é linear em p.
Passo 11
Item (d): usar o teorema da envoltória para estimar o valor máximo da produção quando m muda de 3 para 1 (mantendo os outros parâmetros como em (b)).
O teorema da envoltória diz que, para o problema com Lagrangiano \mathcal{L}, a derivada do valor ótimo em relação a um parâmetro m é dada por derivada direta de \mathcal{L} em relação ao parâmetro avaliada no ótimo. Aqui:
Observação: isso é uma estimativa linear (primeira ordem). Para uma mudança grande como m:3\to1 a estimativa pode diferir do valor exato; o valor exato substituindo m=1 na fórmula do Passo 8 daria um número maior (pois P^* varia como m^{-(1-\alpha)}), mas a questão pediu para usar o teorema da envoltória para estimar — portanto a aproximação linear acima é o que foi pedido.