Sejam a função de produção de uma empresa a Cobb-Douglas P(K, L)=b L^{\alpha} K^{1-\alpha} com b>0 e \alpha<1 constantes fixas e K e L representando, respectivamente, as quantidades de capital e trabalho.
(a) Se o custo de uma unidade de capital é m e de uma unidade de trabalho é n e se a empresa só pode gastar p dólares com o orçamento total, maximize a função de produção P. (monte o problema de otimização com a restrição, ache o ponto estacionário e mostre, calculando a hessiana orlada, que é um ponto de máximo. Além disso, determine o valor de \lambda= multiplicador de Lagrangre).
(b) Considere no item (a) os seguintes valores para os parâmetros \alpha=0.75, m=3, n=2 e p=350 qual é a produção máxima?
(c) Use o valor do multiplicador de Lagrange obtido no item (b) para responder qual será a produção se a restrição orçamentária for de \ 250$.
(d) Usando os valores dos parâmetros dados no item (b) e usando o teorema da envoltória (ou teorema do envelope) estime qual será o valor máximo da produção se na restrição orçamentária tivermos m=1.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem começar a resolver ainda).
  • Dados do problema:
    • Função de produção Cobb–Douglas \;P(K,L)=b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}, com b>0 e \alpha<1 constantes fixas.
    • Custos unitários: capital custa m por unidade e trabalho custa n por unidade.
    • Orçamento total: p (a empresa só pode gastar \$p).
    • No item (b) aparecem valores numéricos: \alpha=0,75, m=3, n=2, p=350.
  • O que o enunciado pede:
    (a) Montar o problema de otimização com a restrição orçamentária, achar o ponto estacionário (K,L) que maximiza P, calcular a hessiana orlada (borded Hessian) e mostrar que o ponto é máximo. Além disso, determinar o valor do multiplicador de Lagrange \lambda.
    (b) Com \alpha=0,75, m=3, n=2, p=350 — qual é a produção máxima?
    (c) Usando o valor de \lambda obtido em (b), qual será a produção se o orçamento for \$250 ? (usar \lambda para responder).
    (d) Com os mesmos parâmetros de (b), usar o teorema da envoltória (envelope theorem) para estimar o valor máximo da produção se agora m=1.

Passo 2

Formulemos o problema de otimização (escrevendo claramente a restrição e a Lagrangiana).
  • Problema: maximizar \;P(K,L)=b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}\; sujeito a \;mK+nL=p.
  • Montamos a Lagrangiana (multiplicador \lambda associado à restrição de igualdade):
\mathcal{L}(K,L,\lambda)=b\,L^{\alpha}K^{1-\alpha}+\lambda\,(p-mK-nL).
  • Aqui \lambda tem interpretação econômica: variação marginal do valor ótimo da produção quando o orçamento p aumenta (mais tarde usaremos isso).

Passo 3

Derivadas primeiras (condições de primeira ordem — FOC). Explicando bem o que cada derivada significa.
  • As condições de primeira ordem pedem que as derivadas parciais da Lagrangiana em relação a K, L e \lambda sejam zero no ponto óptimo:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}=0,\qquad \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=0.
  • Calculemos cada uma:
    • \displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial K}=b(1-\alpha)L^{\alpha}K^{-\alpha}-\lambda m=0.
      Aqui usei a regra potência: derivada de K^{1-\alpha} é (1-\alpha)K^{-\alpha}.
    • \displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial L}=b\alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}-\lambda n=0.
      Análogo, derivada de L^{\alpha} é \alpha L^{\alpha-1}.
    • \displaystyle \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\lambda}=p-mK-nL=0, que é a própria restrição orçamentária.

Passo 4

Achar relação entre K e L a partir das FOC (passo importante para resolver o sistema).
  • Das duas primeiras equações temos expressões para \lambda:
\lambda = \frac{b(1-\alpha)L^{\alpha}K^{-\alpha}}{m} \qquad\text{e}\qquad \lambda = \frac{b\alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}}{n}.
  • Igualando essas duas expressões para \lambda (cancelamos b) e simplificando damos um salto algébrico que merece explicação passo-a-passo:
\frac{(1-\alpha)L^{\alpha}K^{-\alpha}}{m}=\frac{\alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha}}{n}.
Divida um lado pelo outro e simplifique potências de L e K:
\frac{m}{n}=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{L}{K}.
Isolando a razão L/K:
\frac{L}{K}=\frac{m}{n}\cdot\frac{\alpha}{1-\alpha}.
Portanto podemos escrever K em função de L (ou vice-versa). Por exemplo:
K=\frac{n(1-\alpha)}{m\alpha}\,L.

Passo 5

Resolver usando a restrição orçamentária para obter K^* e L^* explicitamente (a solução interior).
  • Substituímos K obtido no passo anterior na restrição mK+nL=p:
m\left(\frac{n(1-\alpha)}{m\alpha}L\right)+nL=p.
  • Simplificando a expressão:
\frac{n(1-\alpha)}{\alpha}L+nL=p.
Juntando termos:
nL\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}+1\right)=p.
Note que \dfrac{1-\alpha}{\alpha}+1=\dfrac{1-\alpha+\alpha}{\alpha}=\dfrac{1}{\alpha}. Assim:
nL\cdot\frac{1}{\alpha}=p \quad\Rightarrow\quad L^*=\frac{\alpha p}{n}.
  • Usando a razão L/K para obter K^*:
K^*=\frac{1-\alpha}{\alpha}\cdot\frac{p}{m}\cdot\alpha\\ \text{(ou simplesmente use a simetria)}.
Mais direto, substituindo em mK+nL=p ou usando simetria, obtemos
K^*=\frac{(1-\alpha)p}{m}.
  • Então o ponto estacionário interior (órgão óptimo) é:
\boxed{L^*=\frac{\alpha p}{n},\qquad K^*=\frac{(1-\alpha)p}{m}.}
Comentário didático: isso tem uma interpretação econômica simples — a fração \alpha do orçamento é gasta em trabalho L e a fração 1-\alpha é gasta em capital K. Essa propriedade é típica da Cobb–Douglas.

Passo 6

Calcular o multiplicador de Lagrange \lambda em função dos parâmetros (usar uma das FOC).
  • Usamos a equação \lambda n=b\alpha L^{\alpha-1}K^{1-\alpha} e substituímos L^* e K^*.
  • Primeiro calculo simbólico geral: substituindo L^*=\dfrac{\alpha p}{n} e K^*=\dfrac{(1-\alpha)p}{m} e simplificando potências, verifica-se que o fator p some (exponencialmente) e obtemos uma expressão que não depende de p:
\lambda=\;b\,\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{\,1-\alpha}\; m^{\alpha-1}\; n^{-\alpha}.
  • Explicação do cancelamento: ao multiplicar L^{\alpha-1}K^{1-\alpha} as potências de p somam (\alpha-1)+(1-\alpha)=0, por isso \lambda não depende de p.
  • Então o valor do multiplicador é
\boxed{\displaystyle \lambda=b\,\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{\,1-\alpha}\; m^{\alpha-1}\; n^{-\alpha}.}

Passo 7

Mostrar que o ponto encontrado é máximo — cálculo da hessiana orlada (bordered Hessian) e argumento da segunda ordem.
  • Primeiro calculemos as segundas derivadas (segundo derivadas da Lagrangiana):
    • \displaystyle \mathcal{L}_{KK}=\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial K^2}=-b\alpha(1-\alpha)L^{\alpha}K^{-\alpha-1}.
    • \displaystyle \mathcal{L}_{LL}=\frac{\partial^2\mathcal{L}}{\partial L^2}=-b\alpha(1-\alpha)L^{\alpha-2}K^{1-\alpha}.
    • \displaystyle \mathcal{L}_{KL}=\mathcal{L}_{LK}=b\alpha(1-\alpha)L^{\alpha-1}K^{-\alpha}.
  • A restrição g(K,L)=mK+nL-p=0 tem derivadas parciais g_K=m e g_L=n.
  • A hessiana orlada (matriz 3x3) é
H_B= \begin{pmatrix} 0 & m & n\\[4pt] m & \mathcal{L}_{KK} & \mathcal{L}_{KL}\\[4pt] n & \mathcal{L}_{LK} & \mathcal{L}_{LL} \end{pmatrix}.
  • Calculamos o determinante dessa matriz (é prático fazer fatorações): após alguma álgebra (fatorando b\alpha(1-\alpha)L^{\alpha-2}K^{-\alpha-1}) obtemos
\det(H_B)=b\,\alpha(1-\alpha)\,L^{\alpha-2}K^{-\alpha-1}\,(mK+nL)^2.
  • Mas pela restrição mK+nL=p, isso vira
\det(H_B)=b\,\alpha(1-\alpha)\,L^{\alpha-2}K^{-\alpha-1}\,p^2.
  • Observações sobre o sinal:
    • Para um problema econômico típico assumimos 0<\alpha<1, b>0 e K>0,L>0. Assim todo o produto acima é positivo, ou seja \det(H_B)>0.
  • Conectando ao teste de segunda ordem (explicação prática, sem formalismos pesados):
    • Se considerarmos variações viáveis (\delta K,\delta L) que satisfazem a restrição linearizada m\,\delta K+n\,\delta L=0, e substituirmos na forma quadrática dada pelas segundas derivadas, obtemos que a segunda variação tem sinal negativo (a conta leva ao negativo do determinante acima dividido por m^2). Conclusão: a segunda variação é negativa para todas as direções admissíveis, logo o ponto crítico é um máximo local (na verdade global no domínio positivo para Cobb–Douglas).
  • Portanto, pelo sinal do determinante da hessiana orlada e pelo cálculo da segunda variação, o ponto (K^*,L^*) é um ponto de máximo sujeito à restrição.]

Passo 8

Calcular a produção máxima geral P^* em função dos parâmetros (fórmula fechada).
  • Substituímos K^*=\dfrac{(1-\alpha)p}{m} e L^*=\dfrac{\alpha p}{n} na função de produção:
P^*=b\left(\frac{\alpha p}{n}\right)^{\alpha}\left(\frac{(1-\alpha)p}{m}\right)^{1-\alpha}.
  • Simplificando a potência de p (porque \alpha+(1-\alpha)=1):
\boxed{\displaystyle P^*=b\,p\,\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{1-\alpha}\; n^{-\alpha}\; m^{-(1-\alpha)}.}
  • Observação importante: P^* é linear em p — isto explicará por que \lambda=\partial P^*/\partial p é independente de p.

Passo 9

Item (b): aplique os valores numéricos \alpha=0{,}75, m=3, n=2, p=350. Como b não foi especificado no enunciado, mantemos b simbólico (se b=1 obtemos o valor numérico puro). Calculemos o valor numérico do fator multiplicativo.
  • Usando a fórmula de P^*:
P^*=b\cdot 350\cdot 0{,}75^{0{,}75}\cdot 0{,}25^{0{,}25}\cdot 2^{-0{,}75}\cdot 3^{-0{,}25}.
  • Avaliando numericamente (aproximações):
    • 0{,}75^{0{,}75}\approx 0{,}805708,
    • 0{,}25^{0{,}25}=\sqrt{0{,}5}\approx 0{,}7071068,
    • 2^{-0{,}75}\approx 0{,}5946036,
    • 3^{-0{,}25}\approx 0{,}7598357.
  • Multiplicando tudo dá (aprox.)
P^*\approx b\times 90{,}1134.
  • Se b=1, a produção máxima numérica é aproximadamente \;90{,}11.

Passo 10

Item (c): usar o valor do multiplicador \lambda obtido no item (b) para obter a produção quando o orçamento passa para p=250.
  • Observação útil (teorema da envoltória): \displaystyle \frac{\partial P^*}{\partial p}=\lambda. Como vimos em Passo 6, \lambda não depende de p.
  • Podemos obter P^*(p) exatamente pela fórmula do Passo 8 (é linear em p), portanto a relação entre P^*(250) e P^*(350) é exatamente:
P^*(250)=\frac{250}{350}P^*(350).
  • Usando o valor numérico de P^*(350) do Passo 9:
P^*(250)\approx b\times 90{,}1134\times\frac{250}{350}=b\times 64{,}367.
  • Alternativamente, usando a ideia de \lambda=\partial P^*/\partial p e fazendo a aproximação linear:
P^*(250)\approx P^*(350)+\lambda\,(250-350)=P^*(350)-100\lambda,
o que dá o mesmo número, porque P^* é linear em p.

Passo 11

Item (d): usar o teorema da envoltória para estimar o valor máximo da produção quando m muda de 3 para 1 (mantendo os outros parâmetros como em (b)).
  • O teorema da envoltória diz que, para o problema com Lagrangiano \mathcal{L}, a derivada do valor ótimo em relação a um parâmetro m é dada por derivada direta de \mathcal{L} em relação ao parâmetro avaliada no ótimo. Aqui:
\frac{\partial P^*}{\partial m}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial m}\Big|_{\text{ótimo}}=-\lambda K^*.ó
(Isto é intuitivo: aumentar m torna capital mais caro e reduz o valor ótimo.)
  • Para uma mudança finita \Delta m=m_{\text{novo}}-m_{\text{antigo}}=1-3=-2, a estimativa linear é
P^*(m=1)\approx P^*(m=3)+\frac{\partial P^*}{\partial m}\Big|_{m=3}\Delta m = P^*(350) -\lambda K^*\cdot( -2 ) = P^*(350)+2\lambda K^*.
  • Usando os valores encontrados:
    • K^*=\dfrac{(1-\alpha)p}{m}=\dfrac{0{,}25\times350}{3}=29{,}1666667.
    • \lambda (para b genérico) foi \lambda=b\times 0{,}257467 aproximadamente (veja Passo 6 e Passo 9).
  • Assim o incremento estimado é 2\lambda K^*\approx 2\cdot(0{,}257467b)\cdot 29{,}1666667 \approx 15{,}0207\,b.
  • Logo
P^*(m=1)\approx P^*(m=3)+15{,}0207\,b \approx 90{,}1134\,b + 15{,}0207\,b \approx 105{,}1341\,b.
  • Observação: isso é uma estimativa linear (primeira ordem). Para uma mudança grande como m:3\to1 a estimativa pode diferir do valor exato; o valor exato substituindo m=1 na fórmula do Passo 8 daria um número maior (pois P^* varia como m^{-(1-\alpha)}), mas a questão pediu para usar o teorema da envoltória para estimar — portanto a aproximação linear acima é o que foi pedido.

Resposta

(a) L^*=\dfrac{\alpha p}{n},\qquad K^*=\dfrac{(1-\alpha)p}{m},\qquad \displaystyle \lambda=b\,\alpha^{\alpha}(1-\alpha)^{1-\alpha}m^{\alpha-1}n^{-\alpha}.
(b) \displaystyle P^*\approx b\times 90{,}1134 (se b=1, P^*\approx 90{,}11).
(c) \displaystyle P^*(p=250)\approx b\times 64{,}367.
(d) Estimativa pela envoltória para m:3\to1: \displaystyle P^*(m=1)\approx b\times 105{,}1341.

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