Uma determinada fábrica tem uma produção de Q(x, y)=50 x^{1 / 2} y^{1 / 2} unidades monetárias de um produto se gastar x unidades monetárias em mão de obra e y unidades monetárias em equipamentos.
(a) Como deveriam ser alocadas 80.000 unidades monetárias em trabalho e equipamentos para render o maior nível de produção possível?
(b) Estime, usando o Multiplicador de Lagrange obtido no item (a), o nível de produção máximo se esta alocação decrescer mil unidades monetárias.

Passo 1

O enunciado dá a função de produção e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • A produção é Q(x,y)=50\,x^{1/2}y^{1/2}, onde x é o gasto com mão de obra e y o gasto com equipamentos (ambos em unidades monetárias).
  • O orçamento total disponível é x+y=80000.
    Perguntas:
    (a) Como alocar as 80000 unidades monetárias entre x e y para maximizar Q?
    (b) Usando o multiplicador de Lagrange obtido no item (a), estimar o nível de produção máximo se essa alocação decrescer 1000 unidades monetárias (isto é, se o orçamento diminuir em 1000).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
  • Este é um problema de maximização com restrição linear x+y=80000. O método padrão é usar multiplicador de Lagrange porque ele encontra o ponto ótimo sujeito à restrição e fornece o multiplicador \lambda, que dá a sensibilidade do valor ótimo da produção em relação ao orçamento (exatamente o que o item (b) pede).
  • Vou montar a função Lagrangiana, aplicar as condições de primeira ordem e resolver para x, y e \lambda.

Passo 3

Montando a Lagrangiana e explicando o que cada coisa significa.
  • Definir a Lagrangiana
\mathcal{L}(x,y,\lambda)=50\,x^{1/2}y^{1/2}+\lambda\bigl(80000-x-y\bigr).
  • Interpretação: a primeira parcela é a produção que queremos maximizar; a segunda impõe a restrição x+y=80000 através do multiplicador \lambda. O valor de \lambda no ponto ótimo representa quanto aumenta (aproximadamente) o máximo de Q se aumentarmos a direita da restrição (o orçamento) por uma unidade monetária.

Passo 4

Condições de primeira ordem (derivadas parciais) e cálculo passo a passo.
  • Calcular \partial\mathcal{L}/\partial x. A derivada de 50\,x^{1/2}y^{1/2} em relação a x é 50\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}y^{1/2}=25\,x^{-1/2}y^{1/2}. Então
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=25\,x^{-1/2}y^{1/2}-\lambda.
  • Igualando a zero (condição de primeira ordem):
25\,x^{-1/2}y^{1/2}-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=25\,\frac{y^{1/2}}{x^{1/2}}.
  • Calcular \partial\mathcal{L}/\partial y. De forma análoga:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=25\,x^{1/2}y^{-1/2}-\lambda=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=25\,\frac{x^{1/2}}{y^{1/2}}.
  • Das duas expressões para \lambda obtemos
25\,\frac{y^{1/2}}{x^{1/2}}=25\,\frac{x^{1/2}}{y^{1/2}} \quad\Rightarrow\quad \frac{y^{1/2}}{x^{1/2}}=\frac{x^{1/2}}{y^{1/2}}.
  • Elevando ambos os lados ao quadrado (ou multiplicando), dá y/x = x/y, logo x^2=y^2. Com x,y\ge0 segue x=y.

Passo 5

Usar a restrição orçamental para obter os valores numéricos.
  • Como x=y e x+y=80000, então 2x=80000 e
x=y=40000.
  • Comentário intuitivo: a função tem forma Cobb–Douglas simétrica em x e y, então a melhor alocação é dividir o orçamento igualmente entre os dois fatores.

Passo 6

Calcular a produção máxima correspondente.
  • Substituindo x=y=40000 em Q:
Q_{\max}=50\,(40000)^{1/2}(40000)^{1/2}=50\cdot\sqrt{40000\cdot 40000}=50\cdot 40000=2000000.
  • Portanto o máximo de produção é 2{,}000{,}000 (unidades monetárias de produto, na mesma unidade de Q).

Passo 7

Calcular o multiplicador \lambda e explicar seu significado para o item (b).
  • Usando \lambda=25\,\dfrac{y^{1/2}}{x^{1/2}} e x=y
\lambda=25.
  • Interpretação prática: \lambda=25 significa que, aproximadamente, cada aumento de 1 unidade monetária no orçamento total eleva o valor máximo de Q em cerca de 25 unidades de produção. Inversamente, uma redução de 1 unidade monetária no orçamento reduz Q_{\max} em aproximadamente 25.

Passo 8

Estimativa da variação do máximo de produção quando o orçamento diminui 1000 (uso do multiplicador).
  • Se o orçamento decresce 1000, então \Delta B=-1000. Usando a aproximação linear dada pelo multiplicador:
\Delta Q_{\max}\approx \lambda\Delta B =25\cdot(-1000)=-25000.
  • Logo o novo nível máximo de produção estimado é
Q_{\max,\text{novo}}\approx 2000000-25000=1975000.
  • Observação: esta é uma estimativa linear válida para pequenas variações; para variações grandes poderia haver diferença, mas para 1000 (que é pequeno em comparação com 80000) a aproximação é muito boa.

Resposta

(a) x=40000,\\ y=40000
(b) Q_{\max}\approx1{,}975{,}000

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