Uma determinada fábrica tem uma produção de
unidades monetárias de um produto se gastar
unidades monetárias em mão de obra e
unidades monetárias em equipamentos.
(a) Como deveriam ser alocadas 80.000 unidades monetárias em trabalho e equipamentos para render o maior nível de produção possível?
(b) Estime, usando o Multiplicador de Lagrange obtido no item (a), o nível de produção máximo se esta alocação decrescer mil unidades monetárias.
(a) Como deveriam ser alocadas 80.000 unidades monetárias em trabalho e equipamentos para render o maior nível de produção possível?
(b) Estime, usando o Multiplicador de Lagrange obtido no item (a), o nível de produção máximo se esta alocação decrescer mil unidades monetárias.
Passo 1
O enunciado dá a função de produção e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- A produção é
, onde é o gasto com mão de obra e o gasto com equipamentos (ambos em unidades monetárias). - O orçamento total disponível é
.
Perguntas:
(a) Como alocar asunidades monetárias entre e para maximizar ?
(b) Usando o multiplicador de Lagrange obtido no item (a), estimar o nível de produção máximo se essa alocação decrescerunidades monetárias (isto é, se o orçamento diminuir em ).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem cálculos ainda).
- Este é um problema de maximização com restrição linear
. O método padrão é usar multiplicador de Lagrange porque ele encontra o ponto ótimo sujeito à restrição e fornece o multiplicador , que dá a sensibilidade do valor ótimo da produção em relação ao orçamento (exatamente o que o item (b) pede). - Vou montar a função Lagrangiana, aplicar as condições de primeira ordem e resolver para
, e .
Passo 3
Montando a Lagrangiana e explicando o que cada coisa significa.
- Definir a Lagrangiana
- Interpretação: a primeira parcela é a produção que queremos maximizar; a segunda impõe a restrição
através do multiplicador . O valor de no ponto ótimo representa quanto aumenta (aproximadamente) o máximo de se aumentarmos a direita da restrição (o orçamento) por uma unidade monetária.
Passo 4
Condições de primeira ordem (derivadas parciais) e cálculo passo a passo.
- Calcular
. A derivada de em relação a é . Então
- Igualando a zero (condição de primeira ordem):
- Calcular
. De forma análoga:
- Das duas expressões para
obtemos
- Elevando ambos os lados ao quadrado (ou multiplicando), dá
, logo . Com segue .
Passo 5
Usar a restrição orçamental para obter os valores numéricos.
- Como
e , então e
- Comentário intuitivo: a função tem forma Cobb–Douglas simétrica em
e , então a melhor alocação é dividir o orçamento igualmente entre os dois fatores.
Passo 6
Calcular a produção máxima correspondente.
- Substituindo
em :
- Portanto o máximo de produção é
(unidades monetárias de produto, na mesma unidade de ).
Passo 7
Calcular o multiplicador
e explicar seu significado para o item (b).
- Usando
e dá
- Interpretação prática:
significa que, aproximadamente, cada aumento de unidade monetária no orçamento total eleva o valor máximo de em cerca de unidades de produção. Inversamente, uma redução de unidade monetária no orçamento reduz em aproximadamente .
Passo 8
Estimativa da variação do máximo de produção quando o orçamento diminui
(uso do multiplicador).
- Se o orçamento decresce
, então . Usando a aproximação linear dada pelo multiplicador:
- Logo o novo nível máximo de produção estimado é
- Observação: esta é uma estimativa linear válida para pequenas variações; para variações grandes poderia haver diferença, mas para
(que é pequeno em comparação com ) a aproximação é muito boa.
Resposta
(a)
(b)
(b)