Para cada uma das matrizes a seguir, calcule (i) \operatorname{det}(A), (ii) A^{-1} Se possível, senão justifique. \mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right];
Passo 1
O enunciado dá uma única matriz A e pede duas coisas:
(i) Calcular \operatorname{det}(A).
(ii) Calcular A^{-1}, quando for possível; se não for possível, justificar por que não.
Primeiro, vamos entender o que é o determinante de uma matriz 2\times2 e como calculá-lo (aqui vem uma mini-aula curta e direta, tipo “cola” para a prova).
Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\operatorname{det}(M)=ad-bc.
O que essas letras significam:
a é o elemento da primeira linha e primeira coluna;
b é o elemento da primeira linha e segunda coluna;
c é o elemento da segunda linha e primeira coluna;
d é o elemento da segunda linha e segunda coluna.
Intuição prática: para 2\times2 é só multiplicar a diagonal principal a\cdot d e subtrair o produto da outra diagonal b\cdot c. Simples assim — decorou e resolve rápido na prova.]
Passo 3
Aplicando a fórmula à nossa matriz A. Identificamos:
a=1,\qquad b=2,\qquad c=3,\qquad d=-1.
Agora calculamos cada produto e a diferença:
ad = 1\cdot(-1) = -1,
bc = 2\cdot 3 = 6,
\operatorname{det}(A)=ad-bc = -1-6 = -7.
Portanto, \operatorname{det}(A)=-7.
Passo 4
Agora a parte do inverso: quando uma matriz 2\times2 tem inverso e como calculá-lo.
Critério rápido: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Aqui já vimos que \operatorname{det}(A)=-7\neq 0, então o inverso existe.
Fórmula prática para o inverso de uma matriz 2\times2:
Se
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \operatorname{det}(M)\neq 0,
Explicação da fórmula (em palavras simples): troca-se a com d (diagonal principal), muda-se o sinal de b e c (diagonal secundária), e divide-se tudo pelo determinante. Essa matriz dentro é a adjunta (adjugate) para 2\times2.]
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso A. Já temos \operatorname{det}(A)=-7. A matriz adjunta (troca e sinais) é