Para cada uma das matrizes a seguir, calcule (i) \operatorname{det}(A), (ii) A^{-1} Se possível, senão justifique.
\mathrm{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -1\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado dá uma única matriz A e pede duas coisas:
  • (i) Calcular \operatorname{det}(A).
  • (ii) Calcular A^{-1}, quando for possível; se não for possível, justificar por que não.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 3 & -1\end{pmatrix}.]

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o determinante de uma matriz 2\times2 e como calculá-lo (aqui vem uma mini-aula curta e direta, tipo “cola” para a prova).
Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\operatorname{det}(M)=ad-bc.
O que essas letras significam:
  • a é o elemento da primeira linha e primeira coluna;
  • b é o elemento da primeira linha e segunda coluna;
  • c é o elemento da segunda linha e primeira coluna;
  • d é o elemento da segunda linha e segunda coluna.
Intuição prática: para 2\times2 é só multiplicar a diagonal principal a\cdot d e subtrair o produto da outra diagonal b\cdot c. Simples assim — decorou e resolve rápido na prova.]

Passo 3

Aplicando a fórmula à nossa matriz A. Identificamos:
a=1,\qquad b=2,\qquad c=3,\qquad d=-1.
Agora calculamos cada produto e a diferença:
ad = 1\cdot(-1) = -1,
bc = 2\cdot 3 = 6,
\operatorname{det}(A)=ad-bc = -1-6 = -7.
Portanto, \operatorname{det}(A)=-7.

Passo 4

Agora a parte do inverso: quando uma matriz 2\times2 tem inverso e como calculá-lo.
Critério rápido: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, seu determinante for diferente de zero. Aqui já vimos que \operatorname{det}(A)=-7\neq 0, então o inverso existe.
Fórmula prática para o inverso de uma matriz 2\times2:
Se
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \operatorname{det}(M)\neq 0,
então
M^{-1}=\frac{1}{\operatorname{det}(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Explicação da fórmula (em palavras simples): troca-se a com d (diagonal principal), muda-se o sinal de b e c (diagonal secundária), e divide-se tudo pelo determinante. Essa matriz dentro é a adjunta (adjugate) para 2\times2.]

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso A. Já temos \operatorname{det}(A)=-7. A matriz adjunta (troca e sinais) é
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix}.
Multiplicando por 1/\operatorname{det}(A)=1/(-7):
A^{-1}=\frac{1}{-7}\begin{pmatrix}-1 & -2 \\[4pt] -3 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\dfrac{-1}{-7} & \dfrac{-2}{-7} \\[8pt] \dfrac{-3}{-7} & \dfrac{1}{-7}\end{pmatrix}.
Simplificando os sinais e frações:
A^{-1}= \begin{pmatrix}\dfrac{1}{7} & \dfrac{2}{7} \\[6pt] \dfrac{3}{7} & -\dfrac{1}{7}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Para ganhar confiança (e para a prova: sempre é boa ideia checar rápido), multiplicamos A por A^{-1} para ver se resulta na identidade I.
Calculemos os quatro elementos de A\cdot A^{-1}:
Primeira linha, primeira coluna:
1\cdot\dfrac{1}{7}+2\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{1+6}{7}=\dfrac{7}{7}=1.
Primeira linha, segunda coluna:
1\cdot\dfrac{2}{7}+2\cdot\left(-\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{2-2}{7}=\dfrac{0}{7}=0.
Segunda linha, primeira coluna:
3\cdot\dfrac{1}{7}+(-1)\cdot\dfrac{3}{7}=\dfrac{3-3}{7}=0.
Segunda linha, segunda coluna:
3\cdot\dfrac{2}{7}+(-1)\cdot\left(-\dfrac{1}{7}\right)=\dfrac{6+1}{7}=\dfrac{7}{7}=1.
Resultado:
A\cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix} = I,
confirmando que o inverso encontrado está correto. Excelente — deu certo!]

Resposta

\operatorname{det}(A)=-7
A^{-1}=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{7} & \dfrac{2}{7} \\[6pt] \dfrac{3}{7} & -\dfrac{1}{7}\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados