Para cada uma das matrizes a seguir, calcule (i) \operatorname{det}(A), (ii) A^{-1} Se possível, senão justifique. B=\left[\begin{array}{ll}-2 & 6 \\\\ -1 & 3\end{array}\right];
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a matriz B dada:
(i) calcular \det(B);
(ii) calcular B^{-1}, se for possível; caso contrário, justificar por que não existe.
Recordando a fórmula prática para determinante e inversa de uma matriz 2\times2.
Seja uma matriz genérica
A=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}.
O determinante de A é dado por
\det(A)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz: a é a entrada da primeira linha e primeira coluna, b primeira linha segunda coluna, etc. Intuitivamente, \det(A) mede a “escala” e orientação que a transformação linear associada a A aplica ao espaço; se \det(A)=0 a transformação comprime o plano em uma reta (ou ponto) e a matriz não é invertível.
Essa fórmula só funciona porque divide-se por \det(A); se \det(A)=0 não dá para dividir e, portanto, não existe inversa.]
Passo 3
Aplicando a fórmula do determinante à matriz B. Identificando os elementos:
a=-2,\quad b=6,\quad c=-1,\quad d=3.
Agora calculemos
\det(B)=ad-bc = (-2)\cdot 3 - 6\cdot(-1).
Façamos as multiplicações e a subtração passo a passo:
(-2)\cdot 3 = -6, \qquad 6\cdot(-1) = -6,
então
\det(B) = -6 - (-6) = -6 + 6 = 0.
Passo 4
Interpretação do resultado \det(B)=0. Pela observação acima, como o determinante é zero, a matriz B é singular (não invertível). Explico de duas maneiras simples por que isso acontece:
Pela fórmula da inversa para 2\times2, seria necessário dividir por \det(B). Como \det(B)=0, essa divisão seria impossível, logo não existe B^{-1}.
Mostrando dependência linear entre as linhas (ou colunas): a primeira linha de B é (-2,6) e a segunda é (-1,3). Note que
\frac{-1}{-2}=\frac{1}{2},
e multiplicando a primeira linha por 1/2 obtém-se a segunda linha:
\frac{1}{2}\cdot(-2,6)=(-1,3).
Ou seja, as linhas são proporcionais; isso implica que as linhas são linearmente dependentes, o posto da matriz é 1 (menor que 2), e portanto a transformação associada comprime o plano numa reta — resultado: determinante zero e sem inversa.
Passo 5
Conclusão final: como \det(B)=0, a inversa B^{-1} não existe. Não há cálculo de inversa possível.
Resposta
\det(B)=0 B^{-1} não existe (a matriz B é singular, pois suas linhas são proporcionais).