Para cada uma das matrizes a seguir, calcule (i) \operatorname{det}(A), (ii) A^{-1} Se possível, senão justifique.
\mathrm{C}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right];

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a matriz C:
  • (i) calcular \det\text{(C)};
  • (ii) calcular C^{-1}, se for possível; caso não seja possível, justificar por que não.
A matriz dada é
C=\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}.]

Passo 2

Vamos calcular o determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b da primeira linha e segunda coluna, e assim por diante. Essa fórmula vem da definição do determinante para matrizes 2\times2 e é fácil de memorizar: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.
No nosso caso, identificando a=3, b=1, c=2, d=4, temos
\det\text{(C)}=3\cdot4-1\cdot2.
Calculando:
\det\text{(C)}=12-2=10.
Como \det\text{(C)}=10\neq0, isso já nos diz que a matriz é invertível (tem inversa).]

Passo 3

Agora a receita para encontrar a inversa de uma matriz 2\times2. Para
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix}
com \det(M)\neq0, a inversa é
M^{-1}=\dfrac{1}{\det(M)}\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Essa matriz dentro do parêntese é a adjunta (adjugate) da matriz M: em 2\times2 basta trocar a e d de posição e trocar os sinais de b e c. A divisão por \det(M) normaliza para que o produto M M^{-1} seja a identidade. Vou usar exatamente essa fórmula.]

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso C, com \det\text{(C)}=10, temos primeiro a matriz adjunta:
\begin{pmatrix}d & -b \\[4pt] -c & a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
Então
C^{-1}=\dfrac{1}{10}\begin{pmatrix}4 & -1 \\[4pt] -2 & 3\end{pmatrix}.
Multiplicando o escalar \dfrac{1}{10} em cada entrada e simplificando frações:
C^{-1}=\begin{pmatrix}4/10 & -1/10 \\[4pt] -2/10 & 3/10\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2/5 & -1/10 \\[4pt] -1/5 & 3/10\end{pmatrix}.]

Passo 5

Vou verificar rapidamente que essa é realmente a inversa, multiplicando C por C^{-1} e mostrando que dá a identidade. Calcular C\cdot C^{-1}:
Elemento (1,1):
3\cdot\frac{2}{5}+1\cdot\left(-\frac{1}{5}\right) =\frac{6}{5}-\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1.
Elemento (1,2):
3\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)+1\cdot\frac{3}{10} =-\frac{3}{10}+\frac{3}{10}=0.
Elemento (2,1):
2\cdot\frac{2}{5}+4\cdot\left(-\frac{1}{5}\right) =\frac{4}{5}-\frac{4}{5}=0.
Elemento (2,2):
2\cdot\left(-\frac{1}{10}\right)+4\cdot\frac{3}{10} =-\frac{2}{10}+\frac{12}{10}=\frac{10}{10}=1.
Portanto C\cdot C^{-1}=I_2, a matriz identidade 2\times2, confirmando que o cálculo está correto.

Passo 6

Resumo curto e motivador: a chave foi calcular o determinante para saber se havia inversa; como o determinante deu 10\neq0, a inversa existe e se obtém pela fórmula da adjunta dividida pelo determinante. Com prática essa receita fica automática — respira fundo, resolve passo a passo e dá certo!

Resposta

\det\text{(C)}=10
C^{-1}=\begin{pmatrix}2/5 & -1/10 \\[4pt] -1/5 & 3/10\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados