Para cada uma das matrizes a seguir, calcule (i) \operatorname{det}(A), (ii) A^{-1} Se possível, senão justifique. \mathrm{C}=\left[\begin{array}{ll}3 & 1 \\\\ 2 & 4\end{array}\right];
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para a matriz C:
(i) calcular \det\text{(C)};
(ii) calcular C^{-1}, se for possível; caso não seja possível, justificar por que não.
Vamos calcular o determinante de uma matriz 2\times2. Para uma matriz genérica
M=\begin{pmatrix}a & b \\[4pt] c & d\end{pmatrix},
o determinante é dado por
\det(M)=ad-bc.
Aqui a,b,c,d são os elementos da matriz: a é o elemento da primeira linha e primeira coluna, b da primeira linha e segunda coluna, e assim por diante. Essa fórmula vem da definição do determinante para matrizes 2\times2 e é fácil de memorizar: multiplica-se a diagonal principal a\cdot d e subtrai-se o produto da outra diagonal b\cdot c.
No nosso caso, identificando a=3, b=1, c=2, d=4, temos
\det\text{(C)}=3\cdot4-1\cdot2.
Calculando:
\det\text{(C)}=12-2=10.
Como \det\text{(C)}=10\neq0, isso já nos diz que a matriz é invertível (tem inversa).]
Passo 3
Agora a receita para encontrar a inversa de uma matriz 2\times2. Para
Essa matriz dentro do parêntese é a adjunta (adjugate) da matriz M: em 2\times2 basta trocar a e d de posição e trocar os sinais de b e c. A divisão por \det(M) normaliza para que o produto M M^{-1} seja a identidade. Vou usar exatamente essa fórmula.]
Passo 4
Aplicando a fórmula ao nosso C, com \det\text{(C)}=10, temos primeiro a matriz adjunta:
Portanto C\cdot C^{-1}=I_2, a matriz identidade 2\times2, confirmando que o cálculo está correto.
Passo 6
Resumo curto e motivador: a chave foi calcular o determinante para saber se havia inversa; como o determinante deu 10\neq0, a inversa existe e se obtém pela fórmula da adjunta dividida pelo determinante. Com prática essa receita fica automática — respira fundo, resolve passo a passo e dá certo!