Para cada uma das matrizes a seguir, determine seu polinômio característico, autovalores, autoespaços e decida se a matriz é diagonalizável. Em caso afirmativo, determine matrizes P, D tais que A=P D P^{-1}. A=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e pede, para essa matriz:
o polinômio característico;
os autovalores;
os autoespaços (ou seja, os autovetores/eigenvectors e suas bases);
decidir se A é diagonalizável;
em caso afirmativo, fornecer matrizes P e D tais que A=PDP^{-1}.
Essas são todas as informações que temos. A resolução começa a seguir.]
Passo 2
Primeiro vamos definir o que é o polinômio característico e como calculá‑lo.
O polinômio característico de uma matriz A é
p(\lambda)=\det(A-\lambda I),
onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho e \lambda é a variável (o futuro autovalor). Para nossa matriz A de ordem 2, temos
Agora calculamos o determinante dessa 2\times2. Lembrete simples: para uma matriz \begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix} temos \det = ad-bc. Aplicando aqui,
ou seja y=-x. Os vetores do autoespaço são (x,-x)=x(1,-1). Portanto
E_{-1}=\operatorname{span}\{(1,-1)\}.
Uma base conveniente é \{(1,-1)\}.
Observação didática: cada autoespaço é unidimensional, como esperado para autovalores simples.]
Passo 5
Decidindo se A é diagonalizável.
Um critério prático: se uma matriz 2\times2 tem dois autovalores distintos, então ela possui dois autovetores linearmente independentes e é diagonalizável. Aqui os autovalores são 1 e -1, distintos, e vimos bases dos respectivos autoespaços formadas pelos vetores (1,1) e (1,-1). Esses dois vetores são linearmente independentes (vetores não múltiplos um do outro), logo formam uma base de \mathbb{R}^2. Portanto A é diagonalizável.
Construção explícita de P e D:
Escolhemos como colunas de P vetores próprios correspondentes aos autovalores, numa ordem à nossa escolha. Tomando primeiro o auto-vetor de \lambda=1 e depois o de \lambda=-1, escolhemos
Repare que P^{-1}=\tfrac{1}{2}P porque P^2=2I (veja: multiplicando P por si dá \begin{pmatrix}2&0\\\ 0&2\end{pmatrix}). Para verificar rápido a diagonalização, podemos multiplicar:
Comentário extra (motivo intuitivo): A é simétrica, por isso é até diagonalizável por uma matriz ortogonal (autovetores ortogonais). Aqui (1,1) e (1,-1) são ortogonais entre si, e se os normalizarmos obtemos uma matriz ortogonal Q tal que A=Q\Lambda Q^T. Mas para a prova não era obrigatório normalizar.]