Para cada uma das matrizes a seguir, determine seu polinômio característico, autovalores, autoespaços e decida se a matriz é diagonalizável. Em caso afirmativo, determine matrizes P, D tais que A=P D P^{-1}. A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 2 & 4\end{array}\right]
Logo os autovalores são \lambda_1=0 e \lambda_2=5.
Cada um aparece uma vez no polinômio (ou seja, tem multiplicidade algébrica igual a 1).
Passo 5
Agora vamos achar os autoespaços (conjunto de autovetores) correspondentes a cada autovalor. Lembre: o autoespaço associado a [\lambda) é o núcleo de A-\lambda I, isto é, o conjunto dos vetores v que satisfazem (A-\lambda I)v=0.
Começamos por \lambda=0: precisamos resolver
A v = 0 \quad\text{ou}\quad \begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] 2 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt] y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt] 0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema linear
\begin{cases} x+2y=0,\\[4pt] 2x+4y=0. \end{cases}
As duas equações são múltiplas (a segunda é o dobro da primeira), então temos uma única equação efetiva x+2y=0\]. Isolando \(x obtemos x=-2y. Tomando y=1 como parâmetro, um autovetor correspondente é
que também tem dimensão 1. A multiplicidade geométrica de \lambda=5 é 1.]
Passo 7
Vamos comparar multiplicidades algébricas e geométricas: ambos os autovalores \lambda=0 e \lambda=5 têm multiplicidade algébrica 1 e multiplicidade geométrica 1. Como a soma das dimensões dos autoespaços é 1+1=2, que é igual à dimensão da matriz (2), concluímos que A é diagonalizável.
Regra prática e útil (que vale sempre para matrizes com entradas reais/complexas): se uma matriz n\times n tem n autovalores distintos (no sentido de valores numéricos distintos), então ela é automaticamente diagonalizável, porque cada autovalor distinto dá pelo menos um autovetor linearmente independente.
Passo 8
Para construir P e D tais que A=PDP^{-1}, colocamos colunas de P sendo um conjunto de autovetores linearmente independentes e em D colocamos os autovalores correspondentes na diagonal, na mesma ordem das colunas de P.
Escolhendo como primeira coluna o autovetor de \lambda=0 e como segunda coluna o autovetor de \lambda=5, definimos: