Para cada uma das matrizes a seguir, determine seu polinômio característico, autovalores, autoespaços e decida se a matriz é diagonalizável. Em caso afirmativo, determine matrizes P, D tais que A=P D P^{-1}. A=\left[\begin{array}{cc}1 & 2 \\\\ 3 & -4\end{array}\right]
os autoespaços (espaços próprios) correspondentes a cada autovalor, dando bases desses espaços;
se A é diagonalizável; e, se for, determinar matrizes P e D tais que A = P D P^{-1}.
Informações dadas: apenas a matriz A acima. Não há outras restrições. Vou então calcular o polinômio característico, resolver para os autovalores, achar autovetores, e montar P e D se possível.]
Passo 2
Definição usada (rapidamente, para você lembrar): o polinômio característico de uma matriz A é dado por \det(A-\lambda I), onde \lambda é a variável e I é a identidade. Vou calcular \det(A-\lambda I).
Note que a segunda equação é 3\] vezes a primeira, então são dependentes — apenas uma equação independente. Da primeira obtemos \(x=2y. Tomando y=t (parâmetro livre), os vetores solução são
Agora faço a análise das multiplicidades e da diagonalizabilidade.
O polinômio característico p(\lambda)=\lambda^2+3\lambda-10 tem duas raízes distintas \lambda=2 e \lambda=-5. Cada autovalor tem multiplicidade algebraica 1.
Os autoespaços E_{2} e E_{-5} têm dimensão geométrica 1 cada (ou seja, cada um tem uma base com um vetor não-nulo).
Como os autovalores são distintos, os autovetores encontrados são linearmente independentes (em \mathbb{R}^2 basta ter dois autovetores linearmente independentes para formar uma base). Portanto existem duas direções próprias independentes que formam uma base de \mathbb{R}^2.
Conclusão: A é diagonalizável.
Passo 7
Vou construir P e D. Convenção (sempre atenção numa prova!): se colocamos nas colunas de P autovetores correspondentes, então em D colocamos os autovalores na mesma ordem diagonal. Vou escolher como primeira coluna o autovetor de \lambda=2 e como segunda coluna o autovetor de \lambda=-5.
Escolho vetores simples das bases dos autoespaços:
Posso verificar rapidamente que A=PDP^{-1}: primeiro PD=\begin{pmatrix}4 & -5\\[4pt] 2 & 15\end{pmatrix}; multiplicando por P^{-1} e simplificando dá exatamente \begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt] 3 & -4\end{pmatrix}. (Fiz essa verificação aritmética passo a passo para garantir que as colunas de P estão associadas corretamente aos elementos de D.)]
Passo 8
Resumo final (pra você decorar o que levar para a prova):
Polinômio característico: \lambda^2+3\lambda-10.
Autovalores: 2 e -5.
Autoespaços e bases: E_{2}=\operatorname{span}\{(2,1)^T\}, E_{-5}=\operatorname{span}\{(1,-3)^T\}.
Como os autovalores são distintos, A é diagonalizável.
Vai dar tudo certo na prova — lembra: em 2x2, encontrar dois autovalores distintos já garante diagonalizabilidade; escolha autovetores simples para formar P e coloque os autovalores na mesma ordem na diagonal de D.]
Resposta
Polinômio característico: \lambda^2+3\lambda-10
Autovalores: \lambda=2 e \lambda=-5
Autoespaço de \lambda=2: E_{2}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}\right\}
Autoespaço de \lambda=-5: E_{-5}=\operatorname{span}\left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]-3\end{pmatrix}\right\}
Diagonalizável: sim
P e D (uma escolha): P=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 1 & -3\end{pmatrix},\; D=\begin{pmatrix}2 & 0\\[4pt] 0 & -5\end{pmatrix}]