Para cada um dos mecanismos reacionais a seguir, determine os perfis de concentração para todas as espécies envolvidas em um reator batelada. Todas as etapas elementares são de primeira ordem. Para fins de cálculo, assuma que k_{1}=1 \mathrm{~min}^{-1}, k_{2}=1,5 \mathrm{~min}^{-1}, k_{-1}=1,3 \mathrm{~min}^{-1} e k_{-2}=1,2 \mathrm{~min}^{-1}.
\mathrm{A} \xrightarrow{k_{1}} b \mathrm{~B}
b \mathrm{~B} \xrightarrow{k_{-1}} \mathrm{~A}
p \mathrm{P} \xrightarrow{k_{2}} \mathrm{~A}

Passo 1

O enunciado descreve um reator batelada com o seguinte mecanismo de reações reversíveis, todas de primeira ordem e com coeficientes estequiométricos unitários (isto é, b=p=1):
\mathrm{A} \;\underset{k_{-1}}{\overset{k_{1}}{\rightleftharpoons}} \mathrm{B} \qquad \mathrm{P} \;\underset{k_{-2}}{\overset{k_{2}}{\rightleftharpoons}} \mathrm{A}
Dados numéricos:
k_{1}=1{,}0\\ \mathrm{min}^{-1}, \quad k_{-1}=1{,}3\\ \mathrm{min}^{-1}, \quad k_{2}=1{,}5\\ \mathrm{min}^{-1}, \quad k_{-2}=1{,}2\\ \mathrm{min}^{-1}.
Conteúdo: cinética de reações em batelada e sistemas lineares de ODEs. Vamos primeiro escrever os balanços molares para \mathrm{A}, \mathrm{B} e \mathrm{P}, depois usar invariantes de massa e variáveis de “laço” para obter solução analítica em forma de soma de exponenciais.

Passo 2

Escrevemos as variáveis de concentração \;C_{A}(t),\,C_{B}(t),\,C_{P}(t)
e as velocidades elementares (primeira ordem):
v_{1}=k_{1}C_{A},\\ v_{-1}=k_{-1}C_{B},\\ v_{2}=k_{2}C_{P},\\ v_{-2}=k_{-2}C_{A}.
Os balanços mol­ares em batelada são
\frac{dC_{A}}{dt} =-v_{1}+v_{-1}+v_{2}-v_{-2} =-(k_{1}+k_{-2})\,C_{A} + k_{-1}\,C_{B} + k_{2}\,C_{P},
\frac{dC_{B}}{dt} =+v_{1}-v_{-1} = k_{1}\,C_{A} - k_{-1}\,C_{B},
\frac{dC_{P}}{dt} =+v_{-2}-v_{2} = k_{-2}\,C_{A} - k_{2}\,C_{P}.

Passo 3

Observamos conservação de massa total
M \;=\; C_{A}(t)+C_{B}(t)+C_{P}(t) \quad\text{constante.}
Definimos duas variáveis de diferença (“modos de laço”):
g_{1}(t)=C_{B}(t)\;-\;\frac{k_{1}}{k_{-1}}\,C_{A}(t), \qquad g_{2}(t)=C_{P}(t)\;-\;\frac{k_{-2}}{k_{2}}\,C_{A}(t).
Calculando \tfrac{d g_{1}}{dt} e \tfrac{d g_{2}}{dt} usando os balanços, mostra‐se que cada um satisfaz uma equação homogênea de primeira ordem desacoplada:
\frac{d g_{1}}{dt} = -\bigl(k_{1}+k_{-1}\bigr)\,g_{1}, \qquad \frac{d g_{2}}{dt} = -\bigl(k_{2}+k_{-2}\bigr)\,g_{2}.

Passo 4

Integramos imediatamente:
g_{1}(t) = g_{1}(0)\,e^{-(k_{1}+k_{-1})\,t}, \qquad g_{2}(t) = g_{2}(0)\,e^{-(k_{2}+k_{-2})\,t},
onde as condições iniciais são
g_{1}(0)=C_{B}(0)\;-\;\frac{k_{1}}{k_{-1}}\,C_{A}(0), \quad g_{2}(0)=C_{P}(0)\;-\;\frac{k_{-2}}{k_{2}}\,C_{A}(0).

Passo 5

Usamos conservação de massa e as definições de g_{1},g_{2} para obter C_{A}(t).
Temos:
C_{B}(t) =\frac{k_{1}}{k_{-1}}\,C_{A}(t) + g_{1}(t), \qquad C_{P}(t) =\frac{k_{-2}}{k_{2}}\,C_{A}(t) + g_{2}(t).
Logo
C_{A}(t) \Bigl[1+\frac{k_{1}}{k_{-1}}+\frac{k_{-2}}{k_{2}}\Bigr] +\;g_{1}(t)+g_{2}(t) \;=\;M.
Denote
D \;=\; 1+\frac{k_{1}}{k_{-1}}+\frac{k_{-2}}{k_{2}},
então
C_{A}(t) =\frac{M \;-\;g_{1}(t) \;-\;g_{2}(t)} {D}.
Finalmente:
C_{B}(t) =\frac{k_{1}}{k_{-1}}\,C_{A}(t) \;+\;g_{1}(0)\,e^{-(k_{1}+k_{-1})t},
C_{P}(t) =\frac{k_{-2}}{k_{2}}\,C_{A}(t) \;+\;g_{2}(0)\,e^{-(k_{2}+k_{-2})t}.

Passo 6

Inserindo valores numéricos:
k_{1}+k_{-1}=1{,}0+1{,}3=2{,}3,\quad k_{2}+k_{-2}=1{,}5+1{,}2=2{,}7,
\frac{k_{1}}{k_{-1}}=\frac{1{,}0}{1{,}3}\approx0{,}7692, \quad \frac{k_{-2}}{k_{2}}=\frac{1{,}2}{1{,}5}=0{,}8,
D=1+0{,}7692+0{,}8=2{,}5692,
g_{1}(0)=C_{B0}-0{,}7692\,C_{A0}, \quad g_{2}(0)=C_{P0}-0{,}8\,C_{A0},
M=C_{A0}+C_{B0}+C_{P0}.
Portanto:
C_{A}(t) =\frac{M -\bigl(C_{B0}-0{,}7692\,C_{A0}\bigr)\,e^{-2{,}3\,t} -\bigl(C_{P0}-0{,}8\,C_{A0}\bigr)\,e^{-2{,}7\,t}} {2{,}5692},
C_{B}(t) =0{,}7692\,C_{A}(t) +\bigl(C_{B0}-0{,}7692\,C_{A0}\bigr)\,e^{-2{,}3\,t},
C_{P}(t) =0{,}8\,C_{A}(t) +\bigl(C_{P0}-0{,}8\,C_{A0}\bigr)\,e^{-2{,}7\,t}.

Resposta

As concentrações em função do tempo são
C_{A}(t) =\frac{C_{A0}+C_{B0}+C_{P0} -\bigl(C_{B0}-\tfrac{1}{1{,}3}C_{A0}\bigr)e^{-2{,}3t} -\bigl(C_{P0}-\tfrac{1{,}2}{1{,}5}C_{A0}\bigr)e^{-2{,}7t}} {1+\tfrac{1}{1{,}3}+\tfrac{1{,}2}{1{,}5}},
C_{B}(t) =\frac{1}{1{,}3}\,C_{A}(t) +\Bigl(C_{B0}-\tfrac{1}{1{,}3}C_{A0}\Bigr)e^{-2{,}3t},
C_{P}(t) =\frac{1{,}2}{1{,}5}\,C_{A}(t) +\Bigl(C_{P0}-\tfrac{1{,}2}{1{,}5}C_{A0}\Bigr)e^{-2{,}7t}.

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