Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos
e
; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
(quadrático plano)
b) Especifique os eixos
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado: para o íon
com geometria quadrático plano (square planar) devemos:
a) identificar todas as operações de simetria;
b) especificar os eixos e
;
c) determinar o grupo de pontos da espécie.
Informações relevantes do enunciado: o metal está no centro e há quatro ligantes no mesmo plano (geometria quadrado plano), sendo um ligante diferente (
) e três iguais (
). Não há figura enviada além da indicação “quadrático plano”.
a) identificar todas as operações de simetria;
b) especificar os eixos
c) determinar o grupo de pontos da espécie.
Informações relevantes do enunciado: o metal
Passo 2
Escolha de uma configuração concreta (posição dos ligantes) — isso não altera o grupo de pontos desde que seja um quadrado plano com um ligante distinto: coloco o centro
na origem e os quatro ligantes nos vértices de um quadrado no plano
. Especificamente (escolha conveniente para raciocinar):
Aqui
é a distância do centro aos ligantes. Eu usei essa disposição porque coloca o ligante único
em
e os três cloretos nos outros vértices, o que facilita checar simetrias por coordenadas.
Passo 3
Breve revisão (didática) do que é uma operação de simetria e como testar:
- Uma operação de simetria é uma transformação geométrica (rotação, reflexão, inversão, rotação imprópria, identidade) que leva a molécula a uma configuração indistinguível da original, isto é, cada átomo é levado para a posição de um átomo do mesmo tipo.
- Na prática, para testar uma operação aplicamos a transformação às coordenadas de cada átomo e verificamos se existe uma permutação que leve cada átomo a uma posição ocupada por átomo do mesmo elemento.
Passo 4
Identidade: sempre existe.
Isso não exige cálculo — a molécula sempre coincide consigo mesma.
Passo 5
Testando rotações de ordem alta (potenciais
,
perpendicular ao plano):
- Rotação por
(um em torno de um eixo perpendicular ao plano, i.e. eixo em ) leva em para — que é uma posição de . Como , essa rotação não preserva a identidade química. Logo não há . - Rotação por
em torno do eixo perpendicular ao plano (o que seria um em ) leva para (uma posição de ). Então esse também não é uma operação de simetria. Portanto não há eixo rotacional cuja linha seja perpendicular ao plano.
Passo 6
Procurando eixos
que estão no plano (linhas que passam por
e por um par de ligantes opostos):
Considere rotações de em torno do eixo que une
e os ligantes em
e
(ou seja, o eixo que passa por
em
e pelo Cl em
). Em coordenadas, a rotação de
em torno do eixo
transforma:
Considere rotações de
Aplicando isso às posições escolhidas:
-
fica (permanece no lugar porque está sobre o eixo); -
fica (permanece também); -
vai para (troca com o cloreto em , que é também ).
Todos os átomos vão para posições ocupadas por átomos do mesmo tipo, logo existe esse. Concluímos que há um eixo que passa pelo Pt e pelos ligantes em e .
Passo 7
Reflexões (espelhos): identificar planos de reflexão que deixam a molécula indistinguível. Usando nossa escolha de coordenadas:
- Plano do próprio quadrado (plano molecular) é
. A reflexão nesse plano (denotada , “horizontal”) faz . Como todos os átomos estão em , eles permanecem nas mesmas posições; portanto é uma operação de simetria. - Plano que contém o eixo
(eixo ) e é perpendicular ao plano molecular é o plano (equação ). A reflexão nesse plano faz . Isso troca os cloretos em e (ambos ) e deixa e o outro sobre o eixo fixos. Logo esse plano é uma simetria — chamamos de (um plano vertical que contém o ). - O outro plano vertical possível, o
(equação ), faria e, portanto, trocaria com : como são átomos diferentes, esse plano não é simetria.
Passo 8
Verificação de centro de inversão e rotações impróprias:
- Centro de inversão
(transformação ) envia para que é , logo não é permitido — não há . - Uma rotação imprópria
exigiria uma combinação de rotação e reflexão que preserve posições; como já falhamos com muitos dos eixos de alta ordem e não existe inversão, não há adicionais aqui que preservem os rótulos. (No concreto, as operações que encontramos já fecham um grupo pequeno.)
Passo 9
Resumindo as operações de simetria encontradas e explicando por que fecham um grupo do tipo
:
Operações encontradas:
Operações encontradas:
Essas quatro operações fecham sob composição (por exemplo,
, etc.) e obedecem à estrutura do grupo de quatro elementos com um eixo
e duas reflexões relacionadas — isto é exatamente a estrutura do grupo de ponto
. Em termos práticos: embora um dos espelhos seja “horizontal” (o próprio plano da molécula) e haja apenas um eixo
, a coleção de operações é isomorfa ao
usual. Portanto o grupo de pontos é
.
Passo 10
Especificação final dos eixos
(pedido b) de forma clara e prática):
-
-axis: eixo que passa por e pelos ligantes em e ; este é o eixo do (ou seja, a linha Pt–F–Cl oposto). -
-axis: eixo no plano molecular, perpendicular ao , passando por e . -
-axis: perpendicular ao plano molecular (para fora do plano), positivo por exemplo saindo do plano.
Com essa escolha: o plano molecular é o plano
(equação
), o espelho
é o próprio
, o eixo
é o eixo
, e o espelho vertical
é o plano
(equação
).
Resposta
a)
(eixo que liga
e os ligantes em
e
),
(plano
, contendo o
),
(plano molecular
).
b) -axis: ao longo Pt–F–Cl(oposto) (eixo
);
-axis: perpendicular ao
no plano molecular;
-axis: perpendicular ao plano molecular (para fora do plano).
c) Grupo de pontos: .
b)
c) Grupo de pontos: