Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos x, y e z; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
trans-1,2-diclorociclopropano

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a molécula trans-1,2-diclorociclopropano:
a) Identificar todas as operações de simetria presentes;
b) Especificar os eixos \,x\,,y e \,z;
c) Determinar o grupo de pontos da molécula.
Informações relevantes que temos do enunciado (sem figura): a molécula é um ciclopropano (anel triangular, os três átomos de carbono aproximadamente no mesmo plano) com dois substituintes \mathrm{Cl} ligados aos carbonos 1 e 2, em configuração trans — isto é, um cloro está fora do plano do anel para um lado (por exemplo \,+z) e o outro cloro está fora do plano para o lado oposto (por exemplo -z). Os demais substituintes nos carbonos são hidrogênios.

Passo 2

Breve aula sobre os elementos de simetria que vamos procurar (para você aplicar na prova):
  • A operação identidade E: sempre existe, não altera nada.
  • Eixo de rotação \,C_n: rotação em torno de um eixo por \,360^\circ/n. Um \,C_2 é rotação de 180^\circ. O eixo de maior ordem é o eixo principal (usualmente chamado de \,z).
  • Plano de reflexão \sigma: reflexão em um plano. Se o plano for perpendicular ao eixo principal é \sigma_h, se contiver o eixo principal é \sigma_v.
  • Centro de inversão i: ponto tal que cada átomo em \vec r vai para -\vec r em relação a esse ponto.
  • Eixo de rotação-impropria S_n: rotação seguida de reflexão num plano perpendicular ao eixo.
Como identificar na prática: pegue um átomo ou grupo, aplique mentalmente a operação (rotacionar ou refletir) e veja se cada átomo coincide com um átomo idêntico (mesmo tipo: \mathrm{C}, \mathrm{H}, \mathrm{Cl}) na mesma posição final.

Passo 3

Modelo geométrico simples (para raciocinar): coloque os três carbonos do anel no plano z=0, formando um triângulo quase equilátero. Num esquema simplificado:
\text{C}_1\\ \text{e}\\ \text{C}_2\\ \text{adjacentes},\quad \text{C}_3\\ \text{o terceiro vértice.}é
Posicionamento dos cloros (pela condição “trans”):
\mathrm{Cl\\ at\\ } \text{C}_1:\\ z>0,\qquad \mathrm{Cl\\ at\\ } \text{C}_2:\\ z<0.
Os outros hidrogênios ficam de acordo com as valências (alguns no mesmo lado do plano, outros no lado oposto), mas o ponto crucial é que os dois \mathrm{Cl} estão em faces opostas do plano do anel.
Para raciocinar sobre simetria é suficiente essa descrição: anel plano (triângulo) com um grande substituinte para cima em C_1 e outro grande substituinte para baixo em C_2.

Passo 4

Procurando e identificando um eixo \,C_2 não trivial:
  • Existe um eixo de rotação de 180^\circ (um \,C_2) que passa pelo átomo \text{C}_3 e pelo ponto médio da ligação \text{C}_1\!-\!\text{C}_2. Esse eixo está contido no plano do anel (ou seja, é um eixo no próprio plano z=0).
  • Por que esse eixo é simetria? Uma rotação de 180^\circ em torno desse eixo troca \text{C}_1 com \text{C}_2 (os vértices opostos do triângulo) e, ao mesmo tempo, inverte o sinal da coordenada z (porque a rotação em um eixo que está no plano do anel faz z\mapsto -z). Assim o \mathrm{Cl} que estava em \text{C}_1 em +z é levado exatamente para a posição do \mathrm{Cl} em \text{C}_2 que estava em -z. Os hidrogênios também se trocam de forma compatível. Portanto a molécula coincide após essa rotação de 180^\circ.
  • Então definitivamente temos a operação \,C_2 (além de E).

Passo 5

Verificando presença/ausência de outros elementos:
  • Plano do anel ( \sigma_h, reflexo no plano z=0)? Se refletíssemos no plano do anel, o \mathrm{Cl} em +z iria para -z na mesma posição de \text{C}_1, mas na molécula real o \mathrm{Cl} na posição de -z está ligado a \text{C}_2, não a \text{C}_1. A reflexão no plano não produz uma coincidência global dos átomos. Logo não há \sigma_h.
  • Plano vertical que contenha o eixo que liga \text{C}_3 ao ponto médio de \text{C}_1\!-\!\text{C}_2 (plano que conteria o \,C_2 e o eixo z)? Esse plano vertical não preserva as posições dos \mathrm{Cl} (ele deixaria o sinal de z inalterado), então o \mathrm{Cl} em +z iria para uma posição em +z do outro carbono — não bate com a realidade (o outro cloro está em -z). Portanto não há \sigma_v que troque \text{C}_1 e \text{C}_2 e ao mesmo tempo inverta z.
  • Centro de inversão i? Se houvesse centro de inversão, o \mathrm{Cl} em +z teria um correspondente em -z exatamente oposto em relação ao ponto central; mas isso exigiria que os dois cloros fossem posicionados de maneira oposta em relação ao mesmo ponto — não é o caso porque os cloros estão em vértices diferentes do triângulo e a geometria não dá esse centro. Logo não há i.
  • Eixos de ordem maior ( C_3, etc.)? O triângulo tem C_3 simetricamente, mas os substituintes \mathrm{Cl} rompem essa simetria: uma rotação de 120^\circ não leva um \mathrm{Cl} para o outro com a mesma orientação de z. Portanto não existe \,C_3 que seja uma simetria real da molécula substituída.
  • Eixos \,S_n? Não aparecem de forma independente quando não há espelhos ou inversão compatíveis; no caso presente não há S_n não-triviais que se mantenham.
Conclusão desta verificação: as únicas operações que permanecem são E (identidade) e o \,C_2 descrito (rotação de 180^\circ no eixo contido no plano do anel passando por \text{C}_3 e pelo ponto médio de \text{C}_1\!-\!\text{C}_2).

Passo 6

Escolhendo os eixos \,x,y,z de forma conveniente (isso responde ao item b):
  • Tome o eixo \,z como o eixo principal, ou seja, o eixo \,C_2 que encontramos (o eixo no plano do anel que passa por \text{C}_3 e pelo ponto médio de \text{C}_1\!-\!\text{C}_2). Em espectroscopia e química, o eixo de maior ordem é escolhido como \,z; aqui o único eixo de rotação não trivial é esse \,C_2, logo é natural chamar esse eixo de \,z.
  • Tome o eixo \,x no próprio plano do anel e perpendicular ao eixo \,z; uma escolha conveniente é fazer \,x coincidir aproximadamente com a direção da ligação \text{C}_1\!-\!\text{C}_2 (ou qualquer direção no plano do anel ortogonal a \,z).
  • Tome o eixo \,y como perpendicular ao plano do anel (isto é, \,y é o eixo fora do plano, na direção em que os substituintes se projetam positivamente/negativamente — assim a coordenada y corresponde ao “lado de cima/baixo” do anel). Observação: a escolha de nome de eixos é uma convenção; o importante é que \,z seja o eixo \,C_2, \,x esteja no plano e perpendicular a \,z, e \,y seja perpendicular ao plano do anel.
(Resumo prático: \,z = eixo \,C_2 no plano do anel; \,x = direção no plano perpendicular a \,z — por exemplo \text{C}_1\!-\!\text{C}_2; \,y = direção perpendicular ao plano do anel.)

Passo 7

Classificação do grupo de pontos (por que escolher este grupo e não outro):
  • As únicas operações são E e um único \,C_2. Não há planos de simetria, nem centro de inversão, nem eixos de ordem maior. O conjunto de operações \{E, C_2\} caracteriza precisamente o grupo de pontos \mathrm{C}_2.
  • Portanto o grupo de pontos da molécula trans-1,2-diclorociclopropano é \mathrm{C}_2.

Resposta

(a) Operações de simetria: E e C_2 (rotação de 180^\circ em torno do eixo que passa por \text{C}_3 e pelo ponto médio de \text{C}_1\!-\!\text{C}_2).
(b) Eixos: \,z = eixo \,C_2 no plano do anel (passando por \text{C}_3 e pelo ponto médio de \text{C}_1\!-\!\text{C}_2); \,x = eixo no plano do anel perpendicular a \,z (por exemplo direção \text{C}_1\!-\!\text{C}_2); \,y = eixo perpendicular ao plano do anel (direção “para fora” do plano).
(c) Grupo de pontos: \mathrm{C}_2.

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