Para cada uma das moléculas ou íons indicados abaixo: a) Identifique todas as operações de simetria;
b) Especifique os eixos
e
; c) Determine o grupo de pontos da molécula ou íon (ver respostas ao final da lista).
-diclorobifenil com os anéis perpendiculares (atenção: não é
)
b) Especifique os eixos
Passo 1
O enunciado pede três coisas para o composto “m,m
error-diclorobifenil com os anéis perpendiculares”:
a) Identificar todas as operações de simetria da molécula;
b) Especificar quais são os eixos (ou seja, escolher um sistema de coordenadas conveniente e dizer onde ficam os eixos);
c) Determinar o grupo de pontos da molécula.
error-diclorobifenil com os anéis perpendiculares”:
a) Identificar todas as operações de simetria da molécula;
b) Especificar quais são os eixos
c) Determinar o grupo de pontos da molécula.
Informações dadas/assumidas explicitamente (importante listar para não perder nada):
- A molécula é um bifenílico: dois anéis benzênicos ligados por uma única ligação C–C central.
- Existem dois átomos de cloro, um em cada anel, nas posições meta (por isso a notação
). - Os planos dos dois anéis são perpendiculares entre si (isto é decisivo para a simetria).
- O enunciado diz “atenção: não é
”, então há simetria não-trivial. - Não foi enviada figura; estou assumindo a geometria usual de um bifenílico com os dois anéis ortogonais e os substituintes
e colocados de forma pareada (isto é, a disposição dos cloros é tal que existe simetria entre as metades: o enunciado implica existência de simetrias).
Passo 2
Escolha de coordenadas — vamos fixar um sistema fácil de visualizar e que facilite a identificação das operações de simetria. Sempre importante: escolher eixos de forma que um dos eixos coincida com a característica geométrica mais óbvia (a ligação interanular). Vou usar a seguinte convenção (isso responde parcialmente b), mas é só a definição; a verificação das operações vem nos próximos passos):
- Coloco o centro geométrico na metade da ligação que une os dois anéis (ponto médio da ligação C–C interanular).
- Defino o eixo
como o eixo que passa ao longo dessa ligação C–C entre os dois anéis (ou seja, o eixo que une os centros dos dois anéis). - Faço o anel
(um dos benzênicos) ser plano e contido no plano (ou seja, o anel está no plano ). - Faço o anel
ser plano e contido no plano (ou seja, o anel está no plano ).
Assim os dois planos dos anéis são perpendiculares (perpendicular a ), e o eixo é a ligação entre eles.
Observação intuitiva: com essa escolha, cada anel tem o seu próprio plano, e ambos têm simetrias internas de benzeno (mas lembramos que a presença dos cloros e a ligação ao outro anel reduzem a simetria total). Nos próximos passos vamos testar quais rotações/reflexões deixam toda a molécula (os dois anéis + cloros) inalterada.
Passo 3
Relembre breve e didaticamente o que é uma operação de simetria (aula rápida):
- Uma operação de simetria é uma transformação geométrica (rotação, reflexão, inversão, rotação seguida de reflexão, identidade) que leva a molécula para uma configuração indistinguível da original. “Indistinguível” significa que após aplicar a operação cada átomo encontra a posição de um átomo do mesmo tipo (C em C, H em H, Cl em Cl) e as ligações aparecem idem.
- Exemplos que vamos usar: identidade
, rotação de chamada (eixos diferentes conforme a direção do eixo), plano de reflexão , centro de inversão , eixos impropriamente rotacionais .
Vou testar cada tipo clássico verificando se, com a disposição escolhida, a operação leva cada átomo ao lugar de outro átomo do mesmo tipo.
Passo 4
Identidade
: trivialmente existe sempre. Registro: a operação
(não mover nada) pertence ao conjunto de simetrias.
Passo 5
Teste da rotação de
em torno do eixo que liga os centros dos anéis (eixo
, a ligação interanular).
- O que faz a rotação
de ? Geometricamente: . - Com a nossa escolha: o anel
está no plano (plano ). Uma rotação em torno de leva cada ponto do anel para outro ponto do mesmo anel (porque gira o anel dentro do seu próprio plano). Benzeno é simétrico sob rotação de em torno do eixo que atravessa seu centro e é perpendicular ao plano? Cuidado: aqui o eixo está no plano do anel (porque eu coloquei anel em ), portanto a rotação de em torno de corresponde a girar o anel em seu próprio plano (um giro de 180°). Como as posições dos átomos de um anel benzênico se mapeiam entre si por esse giro, o anel individualmente é compatível com esse . - O anel
(plano ) também é levado sobre si pelo mesmo : cada ponto vai para , que está no mesmo anel e corresponde a um átomo do mesmo tipo. - Os dois átomos de cloro: supondo-os colocados simetricamente (uma escolha implícita feita para que exista simetria não-trivial), cada cloro é levado para a posição de um átomo cloro equivalente no mesmo anel (ou em posição correspondente). Assim
é uma operação válida.
Conclusão: existe
ao longo de
.
Passo 6
Procuro eixos
perpendiculares ao eixo
. Em moléculas com três eixos
mutuamente perpendiculares (todas atravessando o mesmo ponto), o grupo tende a ser do tipo
. Vamos testar dois eixos ortogonais:
e
, ambos passando pelo centro da ligação (ponto médio) e perpendiculares a
.
Teste de
(rotação de
em torno de
). A transformação geométrica é
.
- O anel
(plano , ou seja pontos ) sob essa rotação vai para : fica no mesmo plano do anel e os átomos do anel trocam entre si (girando 180° no plano do anel). Portanto o anel como conjunto é invariante. - O anel
(plano , pontos ) vai para , que ainda está no plano , portanto também é mapeado sobre si. - Os cloros, posicionados simetricamente (coloquei um em cada anel em posições que respeitem as rotações de 180°), também são levados para posições equivalentes de cloro.
Logo
é uma operação de simetria.
Teste de
(rotação de
em torno de
): transformação
.
- Anel
(no plano ) vai para si; anel (no plano ) vai para si. Os cloros são mapeados entre posições equivalentes. Assim também é uma operação válida.
Portanto há três eixos
mutuamente perpendiculares:
.
Passo 7
Verificação de planos de simetria
(reflexões). Há três tipos possíveis que poderiam existir: planos que contêm
(planos verticais), plano perpendicular a
(plano horizontal
), ou planos diagonais. Vou testar os mais naturais:
-
Plano perpendicular a
(um , que seria o plano que corta a molécula ao meio e é perpendicular ao eixo interanular): esse plano seria o plano . Se existisse , ele trocaria a “face superior” da molécula com a “inferior”. No entanto, isso normalmente troca as posições dos substituintes em cada anel de cima para baixo; a menos que os substituintes estejam emparelhados exatamente em cima/baixo (o que não é o caso aqui, porque os anéis estão em planos perpendiculares e os cloros estão em posições meta), na prática não será uma simetria geral. Testando mentalmente: um átomo de carbono que está em num anel será levado para , posição que nem sempre coincide com átomo do mesmo tipo da conformação original (o arranjo dos hidrogênios/Cl não garante isto). Conclusão: não há geral. -
Planos que contêm
(planos verticais ): por exemplo, o plano (ou seja ) é o plano do anel . Refletir na face deixa o anel inalterado (pois está contido no plano), mas o anel (plan ) sob reflexão é levado para si só se os substituintes desse anel estiverem dispostos simetricamente em relação a esse plano. Como temos apenas um cloro por anel (m,m’), em geral essa reflexão não leva o cloro de um lado para um cloro equivalente, a menos que o cloro de esteja exatamente sobre a interseção dos planos etc. Em nossa configuração geral, não podemos garantir um que deixe toda a molécula inalterada. Portanto, não assumimos existência de planos de reflexão (os três já encontrados tendem a excluir s adicionais, a não ser que a molécula tenha arranjo especial). Conclusão: não há planos de reflexão que sejam simetrias obrigatórias nesta geometria perpendicular com substituição m,m’.
Resumo: não encontramos
geral que preserve toda a molécula.
Passo 8
Teste de centro de inversão
. O centro de inversão leva
. Se a molécula tivesse um centro de inversão no ponto médio da ligação interanular, então cada átomo deveria ter um átomo equivalente diametralmente oposto. Com dois anéis perpendiculares e substituição m,m’ (um cloro em cada anel), o inverso de um cloro que está, digamos, em
seria
, que em geral não corresponde a outro cloro (porque há apenas um cloro no outro anel e sua posição não é necessariamente o oposto exato). Testando mentalmente com a nossa disposição típica: não existe esse ponto de inversão que leva cada cloro a outro cloro. Assim, não há centro de inversão
.
Passo 9
Teste de eixos impropriamente rotacionais
(por exemplo
,
, etc.). Lembre que
é equivalente a inversão
, que já descartamos.
seria uma rotação de
seguida de reflexão em um plano perpendicular — para existir
precisaria haver certa ordenação de substituintes compatível com esse giro de 90°. Aqui os anéis estão em ângulo reto (90°) um ao outro, então é tentador imaginar um
ao longo de
, mas para que
seja simetria o giro de
deve levar a molécula em si e a reflexão depois deve completar a sobreposição. Com a substituição
(um cloro em cada anel em posições específicas), esse
normalmente não funciona porque os cloros não se mapeariam corretamente por esse procedimento. Conclusão: não há
(nem outros
relevantes) para a disposição geral.
Passo 10
Compilando o que encontramos:
- Existe
. - Existem três eixos de rotação
mutuamente perpendiculares: , e . - Não existem planos de reflexão gerais que preservem toda a molécula; não há centro de inversão; não há
impropriamente rotacionais.
Esse conjunto de elementos de simetria (apenas
e três eixos
perpendiculares) é a característica do grupo puntual
. (Lembre:
consiste de
,
,
e
.)
Passo 11
Interpretação física e empática (rápida): o que acabou acontecendo é que a geometria com os anéis a
cria três rotações de 180° que deixam o conjunto inteiro inalterado, mas a presença de substituintes meta (um em cada anel) quebra as reflexões e a inversão — por isso não temos
nem
; o resultado natural e simples é
. Se, por exemplo, houvesse substituintes dispostos de forma ainda mais simétrica (pares de substituintes em posições opostas), poderíamos ganhar planos de reflexão ou centro de inversão e chegar a grupos de maior simetria. Mas com apenas um substituinte por anel em posições meta, a simetria residual é exatamente a dos três
.
Resposta
a)
b) Escolha conveniente: = eixo da ligação interanular (une os centros dos dois anéis);
= eixo perpendicular atravessando o centro e paralelo ao plano do anel
(anel em
);
= eixo perpendicular atravessando o centro e paralelo ao plano do anel
(anel em
).
c) Grupo de pontos:
b) Escolha conveniente:
c) Grupo de pontos: