Para cada uma das moléculas a seguir, identifique os elementos de simetria presentes e determine o grupo de pontos correspondente:
\mathrm{C}_{6} \mathrm{H}_{6} (benzeno)

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os elementos de simetria da molécula de benzeno \mathrm{C}_6\mathrm{H}_6 e, a partir daí, identificar seu grupo pontual. Vamos usar a geometria plana hexagonal da molécula e os conceitos de eixos de rotação C_n, planos de reflexão \sigma, centros de inversão i e eixos de rotação imprópria S_n.

Passo 2

Identificamos o eixo principal de rotação, que é perpendicular ao anel de carbono (e ao plano da molécula). Como o anel é hexagonal regular, esse eixo é um C_6. Junto com ele aparecem: \;E (identidade), \;C_6 e C_6^5 ( \pm 60\circ), \;C_3\equiv C_6^2 e C_3^2\equiv C_6^4 ( \pm 120\circ), \;C_2\equiv C_6^3 ( 180\circ).

Passo 3

Há eixos de segunda ordem adicionais, perpendiculares ao C_6. São seis C_2' que atravessam pares de átomos de carbono opostos ou passam pelos centros das ligações C–C opostas. Esses eixos giram a molécula em 180\circ trocando carbonos/átomos de hidrogênio conforme o caso.

Passo 4

Planos de simetria e outras operações:
\sigma_h: o plano do anel (plano molecular).
– Seis \sigma_v: três passam por átomos de carbono opostos e o eixo C_6, e três passam pelos centros das ligações C–C opostas e o eixo C_6.
i: centro de inversão no centro do anel hexagonal.
S_6: eixo de rotação imprópria ao longo do mesmo eixo do C_6, com operações S_6 e S_6^5 (rotação de 60\circ+ reflexão no plano) e S_3\equiv S_6^2, S_3^2\equiv S_6^4 (rotação de 120\circ+ reflexão).

Passo 5

Reunindo todos esses elementos E,\,2C_6,\,2C_3,\,C_2,\,6C_2',\,\sigma_h,\,6\sigma_v,\,i,\,2S_3,\,2S_6, reconhecemos o grupo diédrico com plano horizontal de ordem 24, que é o grupo pontual D_{6h}.

Resposta

O benzeno possui todos os elementos de simetria de D_{6h} e, portanto, seu grupo pontual é D_{6h}.

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