Para cada número complexo z abaixo, calcule z \cdot \bar{z} e verifique se o resultado coincide com |z|^{2}.
(b) z=-1-3 i

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto z\cdot\bar z e comparar com \lvert z\rvert^2 no caso de
z = -1 - 3i.
O conteúdo aqui é a definição de conjugado de um número complexo e de seu módulo.

Passo 2

Primeiro, determinamos o conjugado de z. Se
z = a + bi,
então
\bar z = a - bi.
No nosso caso, a=-1 e b=-3, logo
\bar z = -1 -(-3)i = -1 + 3i.

Passo 3

Agora calculamos o produto z\cdot\bar z:
z\cdot\bar z = (-1 - 3i)\,(-1 + 3i).
Para multiplicar, usamos que
(a+bi)(a-bi) = a^2 + b^2.
Aqui a=-1 e b=-3, então
z\cdot\bar z = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10.

Passo 4

Em seguida, calculamos o quadrado do módulo de z. Por definição,
\lvert z\rvert^2 = a^2 + b^2,
que com a=-1 e b=-3
\lvert z\rvert^2 = (-1)^2 + (-3)^2 = 1 + 9 = 10.

Passo 5

Como encontramos
z\cdot\bar z = 10 \quad\text{e}\quad \lvert z\rvert^2 = 10,
vemos que de fato os dois resultados coincidem.

Resposta

z\cdot\bar z = 10 \quad\text{e}\quad \lvert z\rvert^2 = 10,
logo coincidem.

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