Para cada número complexo z abaixo, calcule z \cdot \bar{z} e verifique se o resultado coincide com |z|^{2}.
(a) z=2+i

Passo 1

O enunciado nos dá o número complexo z = 2 + i e pede para calcular o produto z \cdot \bar{z} e verificar se coincide com |z|^2. O conteúdo envolvido é a propriedade de que o produto de um complexo pela sua conjugada é igual ao quadrado do seu módulo.

Passo 2

Primeiro, determinamos a conjugada de z:
\bar{z} = 2 - i
Agora calculamos
z \cdot \bar{z} = (2 + i)(2 - i) = 4 - i^2 = 4 - (-1) = 5

Passo 3

Em seguida, computamos o quadrado do módulo de z. Como z = 2 + i, temos
|z|^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5

Passo 4

Comparando os resultados, vemos que
z \cdot \bar{z} = 5 \quad\text{e}\quad |z|^2 = 5,
portanto coincidem.

Resposta

z \cdot \bar{z} = 5 \quad\text{e}\quad |z|^2 = 5,
logo z \cdot \bar{z} = |z|^2.

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