Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}-10 x-20 y=-5, \\\\ 10 x+20 y=5 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r} 5 x+9 y+3 z=6, \\\\ 4 x+z=7, \\\\ 12 x+3 z=21 . \end{array}\right.
(C) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -5 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(D) \left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -5 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 4 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(E) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ -19 \\\\ 3 \\\\ -2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 2 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -7\end{array}\right]\right\}
(F) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ 16 \\\\ -2 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 7\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 5 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(G) \left[\begin{array}{r}1 \\\\ 9 \\\\ 2 \\\\ -1\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}7 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ 0 \\\\ -6 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}
(H) \left[\begin{array}{r}2 \\\\ 16 \\\\ -2 \\\\ -3\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 0 \\\\ 7 \\\\ 1\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 6 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right]\right\}

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1, isto é, são retas em \mathbb{R}^3?” Para cada opção deveriam estar listados dois sistemas lineares em variáveis (x,y,z). Quando um sistema em n variáveis tem posto r, seu espaço de soluções tem dimensão n-r; queremos n-r=1 para cada um dos dois sistemas.

Passo 2

Na versão enviada só a opção (A) traz dois sistemas em (x,y,z). As demais “opções” (C)–(H) exibem parametrizações em \mathbb{R}^4, não são sistemas em (x,y,z) e parecem corresponder a outra questão.

Passo 3

Analisando (A):
– Sistema 1:
\begin{cases} -10x-20y=-5,\\\\ 10x+20y=5 \end{cases}
essas duas equações são múltiplas uma da outra, logo o posto é 1\) em \(3\) variáveis, e o conjunto-solução tem dimensão \(3-1=2\). – Sistema 2: \[\begin{cases} 5x+9y+3z=6,\\\\ 4x+z=7,\\\\ 12x+3z=21 \end{cases}
a terceira equação é 3\cdot(4x+z=7)\], então o posto é \(2 em 3 variáveis, e a solução tem dimensão 3-2=1.
Logo, na (A) um sistema é plano (dimensão 2) e o outro é reta (dimensão 1), não atendendo ao “ambos serem retas”.

Passo 4

Não há, entre as opções apresentadas, nenhuma que contenha dois sistemas em (x,y,z) cujas soluções sejam ambas retas em \mathbb{R}^3. As demais opções não descrevem sistemas em três variáveis, mas sim parametrizações em \mathbb{R}^4.

Resposta

Não é possível escolher nenhuma das opções dadas, pois apenas (A) lista dois sistemas em \mathbb{R}^3 e eles não são ambos de dimensão 1, e as demais opções não são sistemas em (x,y,z).

Exercícios relacionados