Q12: Seja S o conjunto dos \left(x_{1}, \ldots, x_{19}\right) \in \mathbb{R}^{19} tais que:
\left\{\begin{array}{c} x_{12}=x_{2} \\\ x_{4}=x_{11} \\\ x_{18}=x_{14} \\\ x_{4}+x_{12}=x_{11}+x_{2} \end{array}\right.
A dimensão de S é:
(A) 17
(B) 18
(C) 4
(D) 2
(E) 19
(F) 16
(G) 15
(H) 3

Passo 1

O conjunto S\subset\mathbb{R}^{19} é definido por quatro equações lineares homogêneas em 19 variáveis. Para calcular a dimensão de S, usamos que, se um sistema linear homogêneo em \mathbb{R}^{n} tem posto r (número de equações independentes), então
\dim(\ker A)=n-r.

Passo 2

As quatro restrições são
\begin{cases} x_{12}-x_{2}=0,\\\ x_{4}-x_{11}=0,\\\ x_{18}-x_{14}=0,\\\ x_{4}+x_{12}-x_{11}-x_{2}=0. \end{cases}

Passo 3

Observamos que a quarta equação é simplesmente a soma das duas primeiras:
(x_{4}-x_{11})+(x_{12}-x_{2})=x_{4}+x_{12}-x_{11}-x_{2}.
Portanto há apenas três equações linearmente independentes.

Passo 4

O posto do sistema é r=3. Logo
\dim(S)=19-r=19-3=16.

Resposta

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