Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LI, então
não tem solução.
II - Se
é LI, então
tem solução única.
III - Se
é LD, então
pode ter solução única.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado dá três vetores
e define dois sistemas lineares:
S1 é o sistema homogêneo
S1 é o sistema homogêneo
e S2 é o sistema não-homogêneo
Precisamos avaliar as afirmações I–III usando noções de independência linear, existência e unicidade de soluções.
Passo 2
Analisando I: “Se
é LI, então S2 não tem solução.”
Se é linearmente independente, então em particular
. Logo não existe
tal que
. Portanto S2 não tem solução e I é verdadeira.
Se
Passo 3
Analisando II: “Se
é LI, então S1 tem solução única.”
S1 é homogêneo. Pelo teorema básico, o sistema homogêneo só tem a solução trivial se e somente se as colunas
forem LI. Assim S1 tem única solução trivial e II é verdadeira.
S1 é homogêneo. Pelo teorema básico, o sistema homogêneo só tem a solução trivial
Passo 4
Analisando III: “Se
é LD, então S2 pode ter solução única.”
Se é linearmente dependente, existem escalares não todos nulos com
Se
Se nesse relacionamento
, então
mostrando que
. Se além disso
for LI, essa representação é única, e S2 terá solução única. Logo é possível (ou seja, “pode”) S2 ter solução única, e III é verdadeira.
Resposta
(H) Todas são verdadeiras.