Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{5} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
II - Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
III - Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
(A) Apenas I e III são verdadeiras.
(B) Apenas I é verdadeira.
(C) Apenas II é verdadeira.
(D) Todas são falsas.
(E) Apenas II e III são verdadeiras.
(F) Apenas III é verdadeira.
(G) Apenas I e II são verdadeiras.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado dá três vetores \beta=\{\vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3}\}\subset\mathbb{R}^{5} e define dois sistemas lineares:
S1 é o sistema homogêneo
x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}+x_{3}\vec v_{3}=\vec 0
e S2 é o sistema não-homogêneo
x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}.
Precisamos avaliar as afirmações I–III usando noções de independência linear, existência e unicidade de soluções.

Passo 2

Analisando I: “Se \beta é LI, então S2 não tem solução.”
Se \beta é linearmente independente, então em particular \vec v_{3}\notin\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Logo não existe (x_{1},x_{2}) tal que x_{1}\vec v_{1}+x_{2}\vec v_{2}=\vec v_{3}. Portanto S2 não tem solução e I é verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Se \beta é LI, então S1 tem solução única.”
S1 é homogêneo. Pelo teorema básico, o sistema homogêneo só tem a solução trivial (x_{1},x_{2},x_{3})=(0,0,0) se e somente se as colunas \vec v_{1},\vec v_{2},\vec v_{3} forem LI. Assim S1 tem única solução trivial e II é verdadeira.

Passo 4

Analisando III: “Se \beta é LD, então S2 pode ter solução única.”
Se \beta é linearmente dependente, existem escalares não todos nulos com
a\vec v_{1}+b\vec v_{2}+c\vec v_{3}=\vec 0.
Se nesse relacionamento c\neq0, então
\vec v_{3}=-\tfrac{a}{c}\,\vec v_{1}-\tfrac{b}{c}\,\vec v_{2},
mostrando que \vec v_{3}\in\mathrm{span}\{\vec v_{1},\vec v_{2}\}. Se além disso \{\vec v_{1},\vec v_{2}\} for LI, essa representação é única, e S2 terá solução única. Logo é possível (ou seja, “pode”) S2 ter solução única, e III é verdadeira.

Resposta

(H) Todas são verdadeiras.

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