Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}5 x+3 y+8 z=9, \\\\ 9 y+6 z=3, \\\\ -45 y-30 z=-15 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}-8 x-24 y-36 z=-20, \\\\ -15 x-40 z=-20, \\\ x=1 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}-9 x-24 z=-12, \\\\ 12 x+32 z=16 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 5 x+9 y+2 z & =6 \\\\ 8 x+4 y & =1 \\\\ 40 x+20 y & =5 \end{aligned}\right.
(C) \left\{\begin{aligned} 2 x+6 y+9 z & =5, \\\\ 3 x+8 z & =4, \\\ x & =1 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{array}{r}10 x+30 y+45 z=25, \\\\ 24 x+12 y=3 .\end{array}\right.
(D) \left\{\begin{array}{r}-8 x-24 y-36 z=-20, \\\\ -40 x-20 y=-5 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 25 x+45 y+10 z & =30, \\\\ 15 x+27 y+6 z & =18 .\end{aligned}\right.
(E) \left\{\begin{aligned}-20 x-12 y-32 z & =-36, \\\\ -45 y-30 z & =-15 .\end{aligned}\right.
\left\{\begin{aligned} 10 x+30 y+45 z & =25, \\\\ 6 x+18 y+27 z & =15 .\end{aligned}\right.
(F) \left\{\begin{array}{r}2 x+6 y+9 z=5, \\\\ -8 x-24 y-36 z=-20, \\\\ 3 x+8 z=4 .\end{array}\right.
\left\{\begin{array}{r}-10 x-30 y-45 z=-25, \\\\ -32 x-16 y=-4 .\end{array}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: escolher a opção em que, para os dois sistemas listados nessa opção, os conjuntos-solução têm dimensão [1) (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3}).
Lista das equações que foram dadas (copiadas do enunciado):
Opção (A)
Sistema A1:
\begin{cases} 5x+3y+8z=9,\\[4pt] 9y+6z=3,\\[4pt] -45y-30z=-15. \end{cases}
Sistema A2:
\begin{cases} -8x-24y-36z=-20,\\[4pt] -15x-40z=-20,\\[4pt] x=1. \end{cases}
Opção (B)
Sistema B1:
\begin{cases} -9x-24z=-12,\\[4pt] 12x+32z=16. \end{cases}
Sistema B2:
\begin{cases} 5x+9y+2z=6,\\[4pt] 8x+4y=1,\\[4pt] 40x+20y=5. \end{cases}
Opção (C)
Sistema C1:
\begin{cases} 2x+6y+9z=5,\\[4pt] 3x+8z=4,\\[4pt] x=1. \end{cases}
Sistema C2:
\begin{cases} 10x+30y+45z=25,\\[4pt] 24x+12y=3. \end{cases}
Opção (D)
Sistema D1:
\begin{cases} -8x-24y-36z=-20,\\[4pt] -40x-20y=-5. \end{cases}
Sistema D2:
\begin{cases} 25x+45y+10z=30,\\[4pt] 15x+27y+6z=18. \end{cases}
Opção (E)
Sistema E1:
\begin{cases} -20x-12y-32z=-36,\\[4pt] -45y-30z=-15. \end{cases}
Sistema E2:
\begin{cases} 10x+30y+45z=25,\\[4pt] 6x+18y+27z=15. \end{cases}
Opção (F)
Sistema F1:
\begin{cases} 2x+6y+9z=5,\\[4pt] -8x-24y-36z=-20,\\[4pt] 3x+8z=4. \end{cases}
Sistema F2:
\begin{cases} -10x-30y-45z=-25,\\[4pt] -32x-16y=-4. \end{cases}
Observação do que vou calcular (sem resolver ainda): para cada sistema vou determinar quantas equações independentes o sistema efetivamente fornece, checar consistência e, a partir disso, decidir a dimensão do conjunto solução em (\mathbb{R}^3].]

Passo 2

Método e conceitos usados (explicado passo a passo, bem didático):
  • Representação e grau de liberdade:
    • Um sistema linear em três variáveis x,y,z pode ter solução vazia, um ponto, uma reta (dimensão 1) ou um plano (dimensão 2) — dependendo do número de equações independentes e da consistência.
  • O que significa “equações independentes”: duas equações são independentes se não existe um número escalar não-nulo que transforme uma equação na outra (ou, em termos de matrizes, as linhas correspondentes não são múltiplos umas das outras).
  • Matriz dos coeficientes e matriz aumentada:
    • Se o posto (rank) da matriz dos coeficientes for r e o sistema for consistente, a dimensão do espaço de soluções é 3-r (porque há 3 variáveis).
    • Se o posto da matriz dos coeficientes for diferente do posto da matriz aumentada ( r_{\text{coef}}\neq r_{\text{aug}}), o sistema é inconsistente (sem solução).
  • Para sistemas com menos de 3 equações, normalmente a ideia é verificar dependências lineares entre as equações; para sistemas com equações redundantes (uma é múltiplo de outra) isso reduz o posto.
  • Procedimento prático que vou aplicar:
    1. Verificar se alguma equação é combinação linear exata de outras (detecção de redundância).
    2. Contar o número de equações independentes efetivas r.
    3. Se não houver contradição, a dimensão da solução será 3-r.
    4. Quando houver uma equação do tipo x=\text{const} ou relações que fixam duas variáveis, posso resolver diretamente e ver se sobra variável livre.
Agora aplico esse procedimento a cada sistema.

Passo 3

Análise da Opção (A), Sistema A1:
\begin{cases} 5x+3y+8z=9,\\[4pt] 9y+6z=3,\\[4pt] -45y-30z=-15. \end{cases}
  • Observação de dependência: a terceira equação é -5 vezes a segunda, porque -5\cdot(9y+6z)= -45y-30ze -5\cdot 3 = -15. Logo a terceira não é nova: é dependente da segunda.
  • Assim temos efetivamente duas equações independentes: a primeira envolve x,y,z e a segunda envolve só y,z. Essas duas são claramente independentes (a primeira tem coeficiente não nulo de x, a segunda tem coeficiente zero de x), então o posto da matriz dos coeficientes é r=2.
  • Consistência: não aparece contradição entre as equações (a segunda é consistente sozinha para y,z e a primeira pode ser satisfeita encontrando x depois), então o sistema é consistente.
  • Dimensão do conjunto de soluções: \text{dim} = 3 - r = 3 - 2 = 1.
Portanto o Sistema A1 tem conjunto-solução de dimensão 1 (uma reta).]

Passo 4

Análise da Opção (A), Sistema A2:
\begin{cases} -8x-24y-36z=-20,\\[4pt] -15x-40z=-20,\\[4pt] x=1. \end{cases}
  • A equação x=1 fixa x sem ambiguidade.
  • Substituindo x=1 na segunda equação: -15\cdot 1 -40z = -20 \quad\Rightarrow\quad -40z = -20 +15 = -5,então z = \frac{-5}{-40} = \frac{1}{8}.
  • Substituindo x=1 e z=\tfrac{1}{8} na primeira equação: -8\cdot 1 -24y -36\cdot\frac{1}{8} = -20.Calcule: -8 -24y - \frac{36}{8} = -20,\qquad \frac{36}{8}=\frac{9}{2},logo -8 -24y - \frac{9}{2} = -20 \quad\Rightarrow\quad -24y = -20 +8 +\frac{9}{2}.Calcule o lado direito: -20 +8 = -12,\qquad -12 + \frac{9}{2} = -\frac{24}{2} + \frac{9}{2} = -\frac{15}{2}.Então -24y = -\frac{15}{2} \quad\Rightarrow\quad y = \frac{15}{2\cdot 24} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}.
  • Obtivemos uma solução única (x,y,z)=\bigl(1,\tfrac{5}{16},\tfrac{1}{8}\bigr). Logo o conjunto solução é um ponto (dimensão 0).
Portanto o Sistema A2 tem dimensão 0. Como para a opção (A) um dos sistemas tem dimensão 0, a opção (A) NÃO satisfaz a condição pedida.]

Passo 5

Análise da Opção (B), Sistema B1:
\begin{cases} -9x-24z=-12,\\[4pt] 12x+32z=16. \end{cases}
  • Duas equações em x e z; y é ausente (logo y aparece livre ao fim).
  • Verifico se as duas equações são múltiplos uma da outra. Multiplicando a primeira por -\tfrac{4}{3} dá: -\tfrac{4}{3}\cdot(-9x) = 12x,\qquad -\tfrac{4}{3}\cdot(-24z)=32z,\qquad -\tfrac{4}{3}\cdot(-12)=16.Ou seja, a segunda equação é exatamente -\tfrac{4}{3} vezes a primeira; as linhas são dependentes.
  • Portanto o posto da matriz dos coeficientes é r=1.
  • O sistema é consistente (a RHS também obedece à mesma relação), então o conjunto de restrições efetivo deixa dois graus de liberdade: a equação única relaciona x e z, e y é livre. Assim a solução é um plano, dimensão \text{dim} = 3 - 1 = 2.
Logo o Sistema B1 tem dimensão 2 (um plano), não 1.]

Passo 6

Análise da Opção (B), Sistema B2:
\begin{cases} 5x+9y+2z=6,\\[4pt] 8x+4y=1,\\[4pt] 40x+20y=5. \end{cases}
  • Observação de dependência: a terceira equação é 5 vezes a segunda, porque 5\cdot(8x+4y)=40x+20y e 5\cdot 1 =5. Logo a terceira equação é redundante.
  • As duas equações independentes são a primeira (envolve x,y,z) e a segunda (envolve x,y). São independentes entre si (a primeira tem coeficiente de z não nulo enquanto a segunda tem coeficiente de z zero), portanto o posto é r=2.
  • O sistema é consistente (não há contradição), então a dimensão da solução é \text{dim} = 3 - 2 = 1.
Conclusão local: Sistema B2 tem dimensão 1, mas B1 tinha dimensão 2, então a opção (B) NÃO satisfaz (ambos precisam ser dimensão 1).]

Passo 7

Análise da Opção (C), Sistema C1:
\begin{cases} 2x+6y+9z=5,\\[4pt] 3x+8z=4,\\[4pt] x=1. \end{cases}
  • A equação x=1 fixa x. Substituindo x=1 na segunda: 3\cdot 1 + 8z = 4 \quad\Rightarrow\quad 8z = 1 \quad\Rightarrow\quad z = \frac{1}{8}.
  • Substituindo x=1 e z=\tfrac{1}{8} na primeira: 2\cdot 1 + 6y + 9\cdot\frac{1}{8} = 5.Calcule 9\cdot\frac{1}{8}=\frac{9}{8}. Então 2 + 6y + \frac{9}{8} = 5 \quad\Rightarrow\quad 6y = 5 - 2 - \frac{9}{8} = 3 - \frac{9}{8} = \frac{24-9}{8} = \frac{15}{8},logo y = \frac{15}{8\cdot 6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}.
  • Novamente obtemos solução única (x,y,z)=\bigl(1,\tfrac{5}{16},\tfrac{1}{8}\bigr). Dimensão 0.
Portanto o Sistema C1 tem dimensão 0, logo a opção (C) falha.]

Passo 8

Análise da Opção (C), Sistema C2:
\begin{cases} 10x+30y+45z=25,\\[4pt] 24x+12y=3. \end{cases}
  • As duas equações são distintas e não são múltiplos uma da outra (a segunda não contém z, a primeira contém). Logo o posto é r=2.
  • Sistema consistente (nenhuma contradição aparente), então \text{dim} = 3 - 2 = 1.
Mas como C1 tinha dimensão 0, a opção (C) não atende (ambos precisam ser retas).]

Passo 9

Análise da Opção (D), Sistema D1:
\begin{cases} -8x-24y-36z=-20,\\[4pt] -40x-20y=-5. \end{cases}
  • Verifico se as duas equações são múltiplos. Multiplicar a primeira por 5 5\cdot(-8x-24y-36z)= -40x -120y -180z,que NÃO coincide com a segunda -40x-20y (os coeficientes de y e de z são diferentes). Portanto as equações são independentes.
  • Como são duas equações independentes em três variáveis e não há contradição óbvia, o posto é r=2 e o conjunto de soluções tem dimensão \text{dim} = 3 - 2 = 1.
Logo o Sistema D1 tem dimensão 1.]

Passo 10

Análise da Opção (D), Sistema D2:
\begin{cases} 25x+45y+10z=30,\\[4pt] 15x+27y+6z=18. \end{cases}
  • Verifico relação entre as equações: multiplica-se a segunda por \tfrac{5}{3}: \tfrac{5}{3}\cdot(15x+27y+6z) = 25x+45y+10z,e \tfrac{5}{3}\cdot 18 = 30. Portanto a primeira é exatamente \tfrac{5}{3} vezes a segunda: linhas dependentes.
  • Assim o posto é r=1 e, sendo consistente, o conjunto solução tem dimensão \text{dim} = 3 - 1 = 2.
Como D2 tem dimensão 2, a opção (D) não atende.]

Passo 11

Análise da Opção (E), Sistema E1:
\begin{cases} -20x-12y-32z=-36,\\[4pt] -45y-30z=-15. \end{cases}
  • A segunda equação envolve apenas y e z. Não é múltiplo da primeira (a primeira tem termo em x). As duas são, portanto, independentes.
  • Verifico que não há contradição: da segunda equação pode-se isolar y em função de z. De fato: -45y-30z=-15 \quad\Rightarrow\quad 3y+2z=1 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1-2z}{3}.Substituindo na primeira obtém-se x em função de z; portanto há um parâmetro livre z.
  • Posto r=2, consistente, dimensão \text{dim} = 3 - 2 = 1.
Então o Sistema E1 tem dimensão 1.]

Passo 12

Análise da Opção (E), Sistema E2:
\begin{cases} 10x+30y+45z=25,\\[4pt] 6x+18y+27z=15. \end{cases}
  • Verifico se uma é múltipla da outra: multiplicando a segunda por \tfrac{5}{3} \tfrac{5}{3}\cdot(6x+18y+27z) = 10x+30y+45z,e \tfrac{5}{3}\cdot 15 = 25. Logo a primeira é \tfrac{5}{3} vezes a segunda; as equações são dependentes.
  • Portanto posto r=1 e dimensão \text{dim} = 3 - 1 = 2.
Como E2 tem dimensão 2, a opção (E) não atende.]

Passo 13

Análise da Opção (F), Sistema F1:
\begin{cases} 2x+6y+9z=5,\\[4pt] -8x-24y-36z=-20,\\[4pt] 3x+8z=4. \end{cases}
  • Observação: a segunda equação é -4 vezes a primeira, pois -4\cdot(2x+6y+9z) = -8x-24y-36ze -4\cdot 5 = -20. Logo a segunda é redundante.
  • Restam, então, efetivamente duas equações independentes: a primeira (ou a segunda redundante) e a terceira. Verifico que a primeira e a terceira não são múltiplas uma da outra, pois a terceira não tem termo em y e o padrão de coeficientes é diferente (2,6,9) versus (3,0,8). Logo essas duas são independentes → posto r=2.
  • Sistema consistente (não há contradição entre as equações restantes). Consequentemente \text{dim} = 3 - 2 = 1.
Portanto o Sistema F1 tem dimensão 1.]

Passo 14

Análise da Opção (F), Sistema F2:
\begin{cases} -10x-30y-45z=-25,\\[4pt] -32x-16y=-4. \end{cases}
  • As duas equações são diferentes: a primeira envolve x,y,z, a segunda envolve só x,y. Não são múltiplas uma da outra (coeficientes distintos), então são independentes.
  • O sistema é consistente (não há contradição automática). Ao isolar y da segunda equação: -32x -16y = -4 \quad\Rightarrow\quad 2x + y = \tfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{1}{4} - 2x.Substituindo em -10x-30y-45z=-25 obtém-se uma relação entre x e z, deixando um parâmetro livre; portanto posto r=2 e dimensão \text{dim} = 3 - 2 = 1.
Logo o Sistema F2 também tem dimensão 1.]

Passo 15

Resumo das dimensões encontradas para cada opção (cada linha mostra as dimensões dos dois sistemas daquela opção):
  • (A): Sistema A1 dim =1, Sistema A2 dim =0.
  • (B): Sistema B1 dim =2, Sistema B2 dim =1.
  • (C): Sistema C1 dim =0, Sistema C2 dim =1.
  • (D): Sistema D1 dim =1, Sistema D2 dim =2.
  • (E): Sistema E1 dim =1, Sistema E2 dim =2.
  • (F): Sistema F1 dim =1, Sistema F2 dim =1.

Resposta

(F)

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