Q2: Em cada opção abaixo, há dois sistemas lineares nas variáveis x, y e z. Em que opção os conjuntos-solução de ambos os sistemas têm dimensão 1 , isto é, são retas em \mathbb{R}^{3} ?
(A) \left\{\begin{array}{r}5 x+3 y+8 z=9, \\\\ 9 y+6 z=3, \\\\ -45 y-30 z=-15 .\end{array}\right. \left\{\begin{array}{r}-8 x-24 y-36 z=-20, \\\\ -15 x-40 z=-20, \\\ x=1 .\end{array}\right.
(B) \left\{\begin{array}{r}-9 x-24 z=-12, \\\\ 12 x+32 z=16 .\end{array}\right.
\left\{\begin{aligned} 5 x+9 y+2 z & =6 \\\\ 8 x+4 y & =1 \\\\ 40 x+20 y & =5 \end{aligned}\right.
O que o enunciado pede: escolher a opção em que, para os dois sistemas listados nessa opção, os conjuntos-solução têm dimensão [1) (ou seja, são retas em \mathbb{R}^{3}).
Lista das equações que foram dadas (copiadas do enunciado):
Observação do que vou calcular (sem resolver ainda): para cada sistema vou determinar quantas equações independentes o sistema efetivamente fornece, checar consistência e, a partir disso, decidir a dimensão do conjunto solução em (\mathbb{R}^3].]
Passo 2
Método e conceitos usados (explicado passo a passo, bem didático):
Representação e grau de liberdade:
Um sistema linear em três variáveis x,y,z pode ter solução vazia, um ponto, uma reta (dimensão 1) ou um plano (dimensão 2) — dependendo do número de equações independentes e da consistência.
O que significa “equações independentes”: duas equações são independentes se não existe um número escalar não-nulo que transforme uma equação na outra (ou, em termos de matrizes, as linhas correspondentes não são múltiplos umas das outras).
Matriz dos coeficientes e matriz aumentada:
Se o posto (rank) da matriz dos coeficientes for r e o sistema for consistente, a dimensão do espaço de soluções é 3-r (porque há 3 variáveis).
Se o posto da matriz dos coeficientes for diferente do posto da matriz aumentada (r_{\text{coef}}\neq r_{\text{aug}}), o sistema é inconsistente (sem solução).
Para sistemas com menos de 3 equações, normalmente a ideia é verificar dependências lineares entre as equações; para sistemas com equações redundantes (uma é múltiplo de outra) isso reduz o posto.
Procedimento prático que vou aplicar:
Verificar se alguma equação é combinação linear exata de outras (detecção de redundância).
Contar o número de equações independentes efetivas r.
Se não houver contradição, a dimensão da solução será 3-r.
Quando houver uma equação do tipo x=\text{const} ou relações que fixam duas variáveis, posso resolver diretamente e ver se sobra variável livre.
Observação de dependência: a terceira equação é -5 vezes a segunda, porque-5\cdot(9y+6z)= -45y-30ze -5\cdot 3 = -15. Logo a terceira não é nova: é dependente da segunda.
Assim temos efetivamente duas equações independentes: a primeira envolve x,y,z e a segunda envolve só y,z. Essas duas são claramente independentes (a primeira tem coeficiente não nulo de x, a segunda tem coeficiente zero de x), então o posto da matriz dos coeficientes é r=2.
Consistência: não aparece contradição entre as equações (a segunda é consistente sozinha para y,z e a primeira pode ser satisfeita encontrando x depois), então o sistema é consistente.
Dimensão do conjunto de soluções:\text{dim} = 3 - r = 3 - 2 = 1.
Portanto o Sistema A1 tem conjunto-solução de dimensão 1 (uma reta).]
Duas equações em x e z; y é ausente (logo y aparece livre ao fim).
Verifico se as duas equações são múltiplos uma da outra. Multiplicando a primeira por -\tfrac{4}{3} dá:-\tfrac{4}{3}\cdot(-9x) = 12x,\qquad -\tfrac{4}{3}\cdot(-24z)=32z,\qquad -\tfrac{4}{3}\cdot(-12)=16.Ou seja, a segunda equação é exatamente -\tfrac{4}{3} vezes a primeira; as linhas são dependentes.
Portanto o posto da matriz dos coeficientes é r=1.
O sistema é consistente (a RHS também obedece à mesma relação), então o conjunto de restrições efetivo deixa dois graus de liberdade: a equação única relaciona x e z, e y é livre. Assim a solução é um plano, dimensão\text{dim} = 3 - 1 = 2.
Logo o Sistema B1 tem dimensão 2 (um plano), não 1.]
Observação de dependência: a terceira equação é 5 vezes a segunda, porque 5\cdot(8x+4y)=40x+20y e 5\cdot 1 =5. Logo a terceira equação é redundante.
As duas equações independentes são a primeira (envolve x,y,z) e a segunda (envolve x,y). São independentes entre si (a primeira tem coeficiente de z não nulo enquanto a segunda tem coeficiente de z zero), portanto o posto é r=2.
O sistema é consistente (não há contradição), então a dimensão da solução é\text{dim} = 3 - 2 = 1.
Conclusão local: Sistema B2 tem dimensão 1, mas B1 tinha dimensão 2, então a opção (B) NÃO satisfaz (ambos precisam ser dimensão 1).]
Verifico se as duas equações são múltiplos. Multiplicar a primeira por 5 dá5\cdot(-8x-24y-36z)= -40x -120y -180z,que NÃO coincide com a segunda -40x-20y (os coeficientes de y e de z são diferentes). Portanto as equações são independentes.
Como são duas equações independentes em três variáveis e não há contradição óbvia, o posto é r=2 e o conjunto de soluções tem dimensão\text{dim} = 3 - 2 = 1.
Verifico relação entre as equações: multiplica-se a segunda por \tfrac{5}{3}:\tfrac{5}{3}\cdot(15x+27y+6z) = 25x+45y+10z,e \tfrac{5}{3}\cdot 18 = 30. Portanto a primeira é exatamente \tfrac{5}{3} vezes a segunda: linhas dependentes.
Assim o posto é r=1 e, sendo consistente, o conjunto solução tem dimensão\text{dim} = 3 - 1 = 2.
A segunda equação envolve apenas y e z. Não é múltiplo da primeira (a primeira tem termo em x). As duas são, portanto, independentes.
Verifico que não há contradição: da segunda equação pode-se isolar y em função de z. De fato:-45y-30z=-15 \quad\Rightarrow\quad 3y+2z=1 \quad\Rightarrow\quad y=\frac{1-2z}{3}.Substituindo na primeira obtém-se x em função de z; portanto há um parâmetro livre z.
Posto r=2, consistente, dimensão\text{dim} = 3 - 2 = 1.
Verifico se uma é múltipla da outra: multiplicando a segunda por \tfrac{5}{3} dá\tfrac{5}{3}\cdot(6x+18y+27z) = 10x+30y+45z,e \tfrac{5}{3}\cdot 15 = 25. Logo a primeira é \tfrac{5}{3} vezes a segunda; as equações são dependentes.
Portanto posto r=1 e dimensão\text{dim} = 3 - 1 = 2.
Observação: a segunda equação é -4 vezes a primeira, pois-4\cdot(2x+6y+9z) = -8x-24y-36ze -4\cdot 5 = -20. Logo a segunda é redundante.
Restam, então, efetivamente duas equações independentes: a primeira (ou a segunda redundante) e a terceira. Verifico que a primeira e a terceira não são múltiplas uma da outra, pois a terceira não tem termo em y e o padrão de coeficientes é diferente (2,6,9) versus (3,0,8). Logo essas duas são independentes → posto r=2.
Sistema consistente (não há contradição entre as equações restantes). Consequentemente\text{dim} = 3 - 2 = 1.
As duas equações são diferentes: a primeira envolve x,y,z, a segunda envolve só x,y. Não são múltiplas uma da outra (coeficientes distintos), então são independentes.
O sistema é consistente (não há contradição automática). Ao isolar y da segunda equação:-32x -16y = -4 \quad\Rightarrow\quad 2x + y = \tfrac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad y = \tfrac{1}{4} - 2x.Substituindo em -10x-30y-45z=-25 obtém-se uma relação entre x e z, deixando um parâmetro livre; portanto posto r=2 e dimensão\text{dim} = 3 - 2 = 1.
Logo o Sistema F2 também tem dimensão 1.]
Passo 15
Resumo das dimensões encontradas para cada opção (cada linha mostra as dimensões dos dois sistemas daquela opção):