Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll|l} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] \text {. }
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.
II. Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.
III. Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pergunta.
  • Dado \beta=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{7}.
  • Os dois sistemas correspondem a:
    • S_{1} é o sistema homogêneo
    x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0},
    cuja matriz aumentada é \left[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\\ \vec{v}_{3}\mid\vec{0}\right].
    • S_{2} é o sistema
    x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3},
    cuja matriz aumentada é \left[\vec{v}_{1}\\ \vec{v}_{2}\mid\vec{v}_{3}\right].
  • O enunciado apresenta três afirmativas (I, II, III) sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) de \beta e pede qual alternativa (A–H) é correta. Vou verificar cada afirmativa com argumentos e exemplos.

Passo 2

Primeiro, uma aulinha rápida e direta sobre os conceitos que vamos usar.
  • Definição de linearmente independente (LI): o conjunto \beta é LI se a única solução do sistema homogêneo
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}
é c_{1}=c_{2}=c_{3}=0. Em outras palavras, nenhuma combinação linear não trivial dá o vetor nulo.
  • Definição de linearmente dependente (LD): \beta é LD se existem coeficientes não todos nulos tais que
c_{1}\vec{v}_{1}+c_{2}\vec{v}_{2}+c_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}.
Uma consequência útil: se um conjunto de vetores é LD, então algum vetor do conjunto é combinação linear dos outros (por exemplo, \vec v_3 = a\vec v_1 + b\vec v_2 para alguns a,b, ou permutação disso).
  • Relação com sistemas lineares:
    • Para um sistema homogêneo A\vec{x}=\vec{0}, ter solução única ( \vec{x}=\vec{0}) é equivalente a as colunas de A serem LI.
    • Para um sistema não-homogêneo A\vec{x}=\vec{b}, ter solução única ocorre quando \text{rank}(A)=\text{rank}([A\mid \vec b]) e igual ao número de incógnitas; geometricamente, \vec b deve estar no espaço gerado pelas colunas de A e as colunas têm que ser LI.

Passo 3

Análise da afirmativa I: “Se \beta é LI, então S_{1} tem solução única.”
  • Observação: S_{1} é o sistema homogêneo x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}+x_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}.
  • Pela definição de LI, se \beta é LI a única combinação linear que dá \vec{0} é trivial: x_{1}=x_{2}=x_{3}=0.
  • Logo o sistema homogêneo S_{1} tem solução única (a solução trivial).
  • Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.

Passo 4

Análise da afirmativa III: “Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.”
  • S_{2} busca x_{1},x_{2} tais que x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3}.
  • Se \beta é LI, então \vec{v}_{3} não está no espaço gerado por \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}; caso contrário existir a,b com \vec v_3=a\vec v_1+b\vec v_2 implicaria uma relação linear não trivial entre \vec v_1,\vec v_2,\vec v_3, contradizendo LI.
  • Portanto, quando \beta é LI, \vec{v}_{3}\notin\text{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\}, e o sistema x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} não admite solução.
  • Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.

Passo 5

Análise da afirmativa II: “Se \beta é LD, então S_{2} pode ter solução única.”
  • A afirmativa usa a palavra “pode”, ou seja, pergunta se existe a possibilidade, não se é necessariamente verdade em todos os casos.
  • Mostro um exemplo concreto que satisfaz \beta LD e faz S_{2} ter solução única:
    • Tome \vec{v}_{1}=(1,0,0,0,0,0,0), \vec{v}_{2}=(0,1,0,0,0,0,0) e \vec{v}_{3}=(1,1,0,0,0,0,0).
    • Aqui \beta é LD porque \vec{v}_{3}=\vec{v}_{1}+\vec{v}_{2} (existe relação não trivial).
    • O sistema x_{1}\vec{v}_{1}+x_{2}\vec{v}_{2}=\vec{v}_{3} fica
    x_{1}(1,0,\ldots,0)+x_{2}(0,1,0,\ldots,0)=(1,1,0,\ldots,0),que tem única solução x_{1}=1,\\ x_{2}=1 porque \vec v_1 e \vec v_2 são LI.
  • Também é fácil ver que para outros casos de \beta LD o sistema S_{2} pode não ter solução (se \vec v_3 não estiver no span \{\vec v_1,\vec v_2\}), ou pode ter infinitas soluções (se \vec v_1,\vec v_2 forem LD e \vec v_3 estiver no span delas). Mas a existência do exemplo acima basta para garantir que “pode ter solução única” é verdade.
  • Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.

Passo 6

Síntese final e resposta escolhida.
  • I é verdadeira (LI ⇒ S_{1} tem única solução trivial).
  • II é verdadeira (existe caso em que \beta é LD e S_{2} tem solução única).
  • III é verdadeira (LI ⇒ \vec v_3\notin\text{span}\{\vec v_1,\vec v_2\} S_{2} sem solução).
Portanto todas as três afirmativas são verdadeiras.

Resposta

(E) Todas são verdadeiras.

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