Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
é LI, então
tem solução única.
II. Se
é LD, então
pode ter solução única.
III. Se
é LI, então
não tem solução.
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só III é verdadeira.
(B) Só II e III são verdadeiras.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Todas são verdadeiras.
(F) Só II é verdadeira.
(G) Só I e II são verdadeiras.
(H) Só I é verdadeira.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que ele pergunta.
-
Dado
. -
Os dois sistemas correspondem a:
-
é o sistema homogêneo
cuja matriz aumentada é. -
é o sistema
cuja matriz aumentada é. -
-
O enunciado apresenta três afirmativas (I, II, III) sobre independência linear (LI) e dependência linear (LD) de
e pede qual alternativa (A–H) é correta. Vou verificar cada afirmativa com argumentos e exemplos.
Passo 2
Primeiro, uma aulinha rápida e direta sobre os conceitos que vamos usar.
- Definição de linearmente independente (LI): o conjunto
é LI se a única solução do sistema homogêneo
é
. Em outras palavras, nenhuma combinação linear não trivial dá o vetor nulo.
- Definição de linearmente dependente (LD):
é LD se existem coeficientes não todos nulos tais que
Uma consequência útil: se um conjunto de vetores é LD, então algum vetor do conjunto é combinação linear dos outros (por exemplo,
para alguns
, ou permutação disso).
- Relação com sistemas lineares:
- Para um sistema homogêneo
, ter solução única ( ) é equivalente a as colunas de serem LI. - Para um sistema não-homogêneo
, ter solução única ocorre quando e igual ao número de incógnitas; geometricamente, deve estar no espaço gerado pelas colunas de e as colunas têm que ser LI.
- Para um sistema homogêneo
Passo 3
Análise da afirmativa I: “Se
é LI, então
tem solução única.”
- Observação:
é o sistema homogêneo . - Pela definição de LI, se
é LI a única combinação linear que dá é trivial: . - Logo o sistema homogêneo
tem solução única (a solução trivial). - Conclusão: a afirmativa I é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmativa III: “Se
é LI, então
não tem solução.”
-
busca tais que . - Se
é LI, então não está no espaço gerado por ; caso contrário existir com implicaria uma relação linear não trivial entre , contradizendo LI. - Portanto, quando
é LI, , e o sistema não admite solução. - Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Passo 5
Análise da afirmativa II: “Se
é LD, então
pode ter solução única.”
- A afirmativa usa a palavra “pode”, ou seja, pergunta se existe a possibilidade, não se é necessariamente verdade em todos os casos.
- Mostro um exemplo concreto que satisfaz
LD e faz ter solução única: - Tome
, e . - Aqui
é LD porque (existe relação não trivial). - O sistema
fica
que tem única solução porque e são LI. - Tome
- Também é fácil ver que para outros casos de
LD o sistema pode não ter solução (se não estiver no span ), ou pode ter infinitas soluções (se forem LD e estiver no span delas). Mas a existência do exemplo acima basta para garantir que “pode ter solução única” é verdade. - Conclusão: a afirmativa II é verdadeira.
Passo 6
Síntese final e resposta escolhida.
- I é verdadeira (LI ⇒
tem única solução trivial). - II é verdadeira (existe caso em que
é LD e tem solução única). - III é verdadeira (LI ⇒
⇒ sem solução).
Portanto todas as três afirmativas são verdadeiras.
Resposta
(E) Todas são verdadeiras.