Q16: Seja S=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} um conjunto de 3 vetores distintos de \mathbb{R}^{3}. Sejam A=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, B=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, C=\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se A, B e C são todos LIs, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
II. Se \vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
III. Se \vec{v}_{3} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}\right\}, \vec{v}_{2} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{3}\right\}, \vec{v}_{1} \notin \operatorname{span}\left\{\vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\}, então \left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} é LI.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto S=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}\subset\mathbb{R}^{3} com vetores distintos e define os subconjuntos
A=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\qquad B=\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\},\qquad C=\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
O problema pede que se avalie a veracidade das afirmativas I, II e III abaixo:
I. Se A, B e C são todos LI, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.
II. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.
III. Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\\ \vec{v}_{2}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\},\\ \vec{v}_{1}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI.
Lista de informações relevantes dadas:
  • Há três vetores em \mathbb{R}^{3}: \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}.
  • Cada par A,B,C pode ser LI ou LD conforme enunciado.
  • Nos itens são usadas as noções de LI (linearmente independentes), \operatorname{span} (geração linear) e coplanaridade.

Passo 2

Relembrando conceitos fundamentais (com jeitinho didático):
  • Definição de linearmente independentes (LI): um conjunto de vetores \{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é LI se a única solução do sistema
\alpha_1\vec{u}_1+\cdots+\alpha_k\vec{u}_k=\vec{0}
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0. Caso exista uma combinação não trivial (algum \alpha_i\neq0) que produz \vec{0}, o conjunto é linearmente dependente (LD).
  • Definição de \operatorname{span}: \operatorname{span}\{\vec{u}_1,\dots,\vec{u}_k\} é o conjunto de todas as combinações lineares \beta_1\vec{u}_1+\cdots+\beta_k\vec{u}_k.
  • Relação entre dependência e pertença ao span: se um vetor \vec{w} pode ser escrito como combinação linear de outros dois vetores, então \vec{w}\in\operatorname{span}\{\text{esses dois}\}. Em particular, para três vetores, se existe uma combinação não trivial que zera a soma, então pelo menos um dos vetores está no span dos outros dois.
  • Conceito de base: uma base de \mathbb{R}^{3} é um conjunto de três vetores LI (equivalente a três vetores que geram \mathbb{R}^{3}).
  • Coplanaridade de vetores: dizer que três vetores são coplanares significa que todos pertencem a um mesmo plano (no contexto de vetores em \mathbb{R}^3, pode-se entender como pertencentes a um subespaço gerado por dois vetores). Logo, se os três estão no mesmo plano de dimensão 2, não é possível ter três vetores LI (porque num plano só cabem no máximo dois vetores LI).

Passo 3

Análise da afirmativa I:
“I. Se A, B e C são todos LI, então S é uma base de \mathbb{R}^{3}.”
Vamos interpretar: dizer que A,B,C são LI significa que cada par de vetores não é múltiplo um do outro (cada par forma dois vetores LI). A conclusão exigida seria que os três vetores juntos são LI (e então formariam uma base de \mathbb{R}^3).
Contraexemplo concreto (método padrão para provar que uma afirmação do tipo “se … então …” é falsa é dar um contraexemplo):
Escolha vetores simples em \mathbb{R}^{3}:
\vec{v}_{1}=(1,0,0),\qquad \vec{v}_{2}=(0,1,0),\qquad \vec{v}_{3}=(1,1,0).
  • Verificar A=\{\vec{v}_1,\vec{v}_2\} é LI porque não existe \alpha,\beta não-triviais com \alpha\vec{v}_1+\beta\vec{v}_2=\vec{0} a não ser \alpha=\beta=0 (são eixos distintos).
  • Verificar B=\{\vec{v}_1,\vec{v}_3\} é LI porque \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_1.
  • Verificar C=\{\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LI porque \vec{v}_3 não é múltiplo de \vec{v}_2.
Ou seja, todos os pares A,B,C são LI. Porém os três vetores juntos satisfazem
\vec{v}_1+\vec{v}_2-\vec{v}_3=\vec{0},
portanto existe combinação linear não-trivial que anula a soma, logo \{\vec{v}_1,\vec{v}_2,\vec{v}_3\} é LD. Assim os três não formam uma base de \mathbb{R}^3. Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Comentário intuitivo: exigir que cada par seja LI impede apenas que algum vetor seja múltiplo de outro; não impede que um dos vetores seja soma (ou combinação) dos outros dois. Então pares LI não garantem LI do triplo.

Passo 4

Análise da afirmativa II:
“II. Se \vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3} são coplanares, então S pode ser LI.”
Explicação e prova direta: se três vetores são coplanares, eles pertencem todos a um mesmo plano (um subespaço de dimensão no máximo 2). Num espaço de dimensão 2 não é possível ter três vetores LI: o máximo de vetores LI é igual à dimensão do espaço que os contém. Assim, três vetores coplanares em \mathbb{R}^{3} são necessariamente linearmente dependentes. Portanto não podem ser LI. Conclusão: a afirmativa II, que diz que em caso de coplanaridade S pode ser LI, é falsa — na verdade o correto é: se são coplanares então S é LD.
Um jeito mais elementar: como eles estão todos no span de dois vetores que geram o plano, um dos três será combinação linear dos outros dois, daí dependência.

Passo 5

Análise da afirmativa III:
“III. Se \vec{v}_{3}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2}\},\\ \vec{v}_{2}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\},\\ \vec{v}_{1}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}, então \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI.”
Vamos provar: suponha, por contradição, que \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LD. Então existem escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, nem todos nulos, tais que
\alpha_{1}\vec{v}_{1}+\alpha_{2}\vec{v}_{2}+\alpha_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0}.
Existem dois casos a considerar:
  1. Algum coeficiente é zero, por exemplo \alpha_{1}=0. Então \alpha_{2}\vec{v}_{2}+\alpha_{3}\vec{v}_{3}=\vec{0} com (\alpha_{2},\alpha_{3})\neq(0,0). Isso significa que \vec{v}_{2} e \vec{v}_{3} são linearmente dependentes entre si, então um está no span do outro; em particular \vec{v}_{2}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{3}\}\subset\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}, o que contradiz a hipótese \vec{v}_{2}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{1},\vec{v}_{3}\}. O mesmo argumento vale se \alpha_{2}=0 ou \alpha_{3}=0.
  2. Todos os coeficientes são não nulos. Então podemos isolar, por exemplo, \vec{v}_{1}:
\vec{v}_{1}=-\frac{\alpha_{2}}{\alpha_{1}}\vec{v}_{2}-\frac{\alpha_{3}}{\alpha_{1}}\vec{v}_{3},
que mostra \vec{v}_{1}\in\operatorname{span}\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}, novamente contradizendo a hipótese \vec{v}_{1}\notin\operatorname{span}\{\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\}.
Como ambos os casos levam a contradição com as hipóteses dadas, a suposição inicial de dependência é impossível. Assim \{\vec{v}_{1},\vec{v}_{2},\vec{v}_{3}\} é LI. Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Intuição rápida: se nenhum vetor está no span dos outros dois, então não existe combinação linear que zere a soma — isso é exatamente a independência.

Passo 6

Resumo das conclusões:
  • I é falsa (contraexemplo com \vec{v}_1=(1,0,0),\vec{v}_2=(0,1,0),\vec{v}_3=(1,1,0)).
  • II é falsa (três vetores coplanares em \mathbb{R}^3 são necessariamente LD).
  • III é verdadeira (prova por contradição mostrando que qualquer dependência faria algum vetor pertencer ao span dos outros dois, contra a hipótese).

Resposta

(B)

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