Q16: Seja
um conjunto de 3 vetores distintos de
. Sejam
. Considere as afirmativas abaixo:
I. Se
e
são todos LIs, então
é uma base de
.
II. Se
são coplanares, então
pode ser LI.
III. Se
, então
é LI.
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
I. Se
II. Se
III. Se
(A) Só I é verdadeira.
(B) Só III é verdadeira.
(C) Todas são falsas.
(D) Só I e III são verdadeiras.
(E) Só II e III são verdadeiras.
(F) Só I e II são verdadeiras.
(G) Só II é verdadeira.
(H) Todas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
com vetores distintos e define os subconjuntos
O problema pede que se avalie a veracidade das afirmativas I, II e III abaixo:
I. Se e
são todos LI, então
é uma base de
.
II. Se são coplanares, então
pode ser LI.
III. Se , então
é LI.
I. Se
II. Se
III. Se
Lista de informações relevantes dadas:
- Há três vetores em
: . - Cada par
pode ser LI ou LD conforme enunciado. - Nos itens são usadas as noções de LI (linearmente independentes),
(geração linear) e coplanaridade.
Passo 2
Relembrando conceitos fundamentais (com jeitinho didático):
- Definição de linearmente independentes (LI): um conjunto de vetores
é LI se a única solução do sistema
é
. Caso exista uma combinação não trivial (algum
) que produz
, o conjunto é linearmente dependente (LD).
- Definição de
: é o conjunto de todas as combinações lineares . - Relação entre dependência e pertença ao span: se um vetor
pode ser escrito como combinação linear de outros dois vetores, então . Em particular, para três vetores, se existe uma combinação não trivial que zera a soma, então pelo menos um dos vetores está no span dos outros dois. - Conceito de base: uma base de
é um conjunto de três vetores LI (equivalente a três vetores que geram ). - Coplanaridade de vetores: dizer que três vetores são coplanares significa que todos pertencem a um mesmo plano (no contexto de vetores em
, pode-se entender como pertencentes a um subespaço gerado por dois vetores). Logo, se os três estão no mesmo plano de dimensão , não é possível ter três vetores LI (porque num plano só cabem no máximo dois vetores LI).
Passo 3
Análise da afirmativa I:
“I. Se e
são todos LI, então
é uma base de
.”
“I. Se
Vamos interpretar: dizer que
são LI significa que cada par de vetores não é múltiplo um do outro (cada par forma dois vetores LI). A conclusão exigida seria que os três vetores juntos são LI (e então formariam uma base de
).
Contraexemplo concreto (método padrão para provar que uma afirmação do tipo “se … então …” é falsa é dar um contraexemplo):
Escolha vetores simples em :
Escolha vetores simples em
- Verificar
é LI porque não existe não-triviais com a não ser (são eixos distintos). - Verificar
é LI porque não é múltiplo de . - Verificar
é LI porque não é múltiplo de .
Ou seja, todos os pares
são LI. Porém os três vetores juntos satisfazem
portanto existe combinação linear não-trivial que anula a soma, logo
é LD. Assim os três não formam uma base de
. Conclusão: a afirmativa I é falsa.
Comentário intuitivo: exigir que cada par seja LI impede apenas que algum vetor seja múltiplo de outro; não impede que um dos vetores seja soma (ou combinação) dos outros dois. Então pares LI não garantem LI do triplo.
Passo 4
Análise da afirmativa II:
“II. Se são coplanares, então
pode ser LI.”
“II. Se
Explicação e prova direta: se três vetores são coplanares, eles pertencem todos a um mesmo plano (um subespaço de dimensão no máximo
). Num espaço de dimensão
não é possível ter três vetores LI: o máximo de vetores LI é igual à dimensão do espaço que os contém. Assim, três vetores coplanares em
são necessariamente linearmente dependentes. Portanto não podem ser LI. Conclusão: a afirmativa II, que diz que em caso de coplanaridade
pode ser LI, é falsa — na verdade o correto é: se são coplanares então
é LD.
Um jeito mais elementar: como eles estão todos no span de dois vetores que geram o plano, um dos três será combinação linear dos outros dois, daí dependência.
Passo 5
Análise da afirmativa III:
“III. Se , então
é LI.”
“III. Se
Vamos provar: suponha, por contradição, que
é LD. Então existem escalares
, nem todos nulos, tais que
Existem dois casos a considerar:
-
Algum coeficiente é zero, por exemplo
. Então com . Isso significa que e são linearmente dependentes entre si, então um está no span do outro; em particular , o que contradiz a hipótese . O mesmo argumento vale se ou . -
Todos os coeficientes são não nulos. Então podemos isolar, por exemplo,
:
que mostra
, novamente contradizendo a hipótese
.
Como ambos os casos levam a contradição com as hipóteses dadas, a suposição inicial de dependência é impossível. Assim
é LI. Conclusão: a afirmativa III é verdadeira.
Intuição rápida: se nenhum vetor está no span dos outros dois, então não existe combinação linear que zere a soma — isso é exatamente a independência.
Passo 6
Resumo das conclusões:
- I é falsa (contraexemplo com
). - II é falsa (três vetores coplanares em
são necessariamente LD). - III é verdadeira (prova por contradição mostrando que qualquer dependência faria algum vetor pertencer ao span dos outros dois, contra a hipótese).
Resposta
(B)