Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=x^{2}+1, g(x)=3 x-2

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro composições de funções:
i. (f\circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g\circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f\circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g\circ g)(x)=g(g(x))
As funções dadas são:
f(x)=x^{2}+1,\qquad g(x)=3x-2.

Passo 2

O que significa compor funções (explicação passo-a-passo e didática):
  • Uma função f recebe um número de entrada (chamamos de x) e devolve f(x).
  • A composição f(g(x)) significa "pegar a saída de g(x) e usá-la como entrada de f".
  • Em prática algébrica: substituir toda ocorrência de x em f(x) pela expressão g(x).
    Exemplo simples: se f(t)=t^{2}+1 e g(x)=3x-2, então f(g(x))=(g(x))^{2}+1 — substituição direta.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) fazendo substituição explícita:
(f\circ g)(x)=f(g(x))=(\;g(x)\;)^{2}+1.
Agora substituir g(x)=3x-2:
(f\circ g)(x)=(3x-2)^{2}+1.
Expandir o quadrado usando a identidade (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} (aqui a=3x, b=2):
(3x-2)^{2}=(3x)^{2}-2\cdot(3x)\cdot2+2^{2}=9x^{2}-12x+4.
Somando o +1:
(f\circ g)(x)=9x^{2}-12x+4+1=9x^{2}-12x+5.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)) por substituição:
(g\circ f)(x)=g(f(x))=3\cdot(f(x))-2.
Substituir f(x)=x^{2}+1:
(g\circ f)(x)=3\cdot(x^{2}+1)-2.
Distribuir o 3 (propriedade distributiva: a(b+c)=ab+ac):
3(x^{2}+1)=3x^{2}+3.
Agora subtrair 2:
(g\circ f)(x)=3x^{2}+3-2=3x^{2}+1.

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)) por substituição direta:
(f\circ f)(x)=f(f(x))=(\;f(x)\;)^{2}+1.
Substituir f(x)=x^{2}+1:
(f\circ f)(x)=(x^{2}+1)^{2}+1.
Expandir o quadrado do binómio usando (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} com a=x^{2}, b=1:
(x^{2}+1)^{2}=(x^{2})^{2}+2\cdot x^{2}\cdot1+1^{2}=x^{4}+2x^{2}+1.
Somando o +1 final:
(f\circ f)(x)=x^{4}+2x^{2}+1+1=x^{4}+2x^{2}+2.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)) por substituição:
(g\circ g)(x)=g(g(x))=3\cdot(g(x))-2.
Substituir g(x)=3x-2:
(g\circ g)(x)=3\cdot(3x-2)-2.
Distribuir o 3:
3(3x-2)=9x-6.
Subtrair 2:
(g\circ g)(x)=9x-6-2=9x-8.

Passo 7

Resumo rápido das técnicas usadas (para lembrar na prova):
  • Composição = substituir a expressão da função interna no lugar de x da função externa.
  • Expandir quadrados de binômios com (a\pm b)^{2} e usar distributiva a(b+c)=ab+ac.
  • Verifique sempre a simplificação final somando termos constantes e semelhantes.

Resposta

(f\circ g)(x)=9x^{2}-12x+5
(g\circ f)(x)=3x^{2}+1
(f\circ f)(x)=x^{4}+2x^{2}+2
(g\circ g)(x)=9x-8

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