Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=\frac{1}{x}, g(x)=x^{2}-4

Passo 1

O enunciado pede para calcular quatro composições entre as funções dadas. Informações fornecidas:
  • f(x)=\dfrac{1}{x}.
  • g(x)=x^{2}-4.
As perguntas são:
i. (f\circ g)(x)=f(g(x)).
ii. (g\circ f)(x)=g(f(x)).
iii. (f\circ f)(x)=f(f(x)).
iv. (g\circ g)(x)=g(g(x)).

Passo 2

Vamos calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)) por substituição direta: f transforma um número t em 1/t; aqui t=g(x)=x^{2}-4. Logo,
(f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{1}{g(x)}=\frac{1}{x^{2}-4}.
Domínio: é preciso que o denominador não seja zero, então x^{2}-4\neq0, ou seja x\neq\pm2.

Passo 3

Agora (g\circ f)(x)=g(f(x)). Substitui-se f(x)=1/x dentro de g, que é g(t)=t^{2}-4. Assim,
(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)=\bigl(f(x)\bigr)^{2}-4=\left(\frac{1}{x}\right)^{2}-4=\frac{1}{x^{2}}-4.
Se preferir colocar numa fração única,
\frac{1}{x^{2}}-4=\frac{1-4x^{2}}{x^{2}}.
Domínio: x\neq0 (porque f(x)=1/x exige x\neq0).

Passo 4

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)). Aqui aplicamos f duas vezes: primeiro f(x)=1/x, depois f novamente sobre esse resultado:
(f\circ f)(x)=f\bigl(f(x)\bigr)=f\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{\frac{1}{x}}=x.
Domínio: novamente x\neq0 (pois f(x) precisa estar definida na etapa inicial).
Observação intuitiva: f(x)=1/x é a função inversa multiplicativa, e aplicá-la duas vezes retorna x (quando x é permitido).

Passo 5

Por fim (g\circ g)(x)=g(g(x)). Substitui-se g(x)=x^{2}-4 dentro de g:
(g\circ g)(x)=g\bigl(g(x)\bigr)=\bigl(x^{2}-4\bigr)^{2}-4.
Expandindo o quadrado,
\bigl(x^{2}-4\bigr)^{2}-4=x^{4}-8x^{2}+16-4=x^{4}-8x^{2}+12.
Fatoração possível (útil para identificar raízes):
x^{4}-8x^{2}+12=(x^{2}-2)(x^{2}-6).
Domínio: sem restrições adicionais (polinômios estão definidos para todo x\in\mathbb{R}).

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{1}{x^{2}-4}
(g\circ f)(x)=\dfrac{1}{x^{2}}-4
(f\circ f)(x)=x
(g\circ g)(x)=x^{4}-8x^{2}+12

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