Para cada par de funções
e
, determine as seguintes composições:
i.
ii.
iii.
iv.
Sendo:
i.
ii.
iii.
iv.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
-
Pede calcular as quatro composições:
-
-
As funções fornecidas são:
-
. -
.
-
Vou fazer substituições diretas e simplificar passo a passo, e também comentar sobre restrições de domínio quando necessário.
Passo 2
Lembrete prático sobre composição: para calcular
substitui-se toda a expressão
no lugar de
na função
. Ou seja, sempre trocar o
externo pela expressão interna e depois simplificar.
Exemplo simples (apenas para fixar): se
e
, então
Agora aplico isso a
e
.
Passo 3
Calcular
.
- Substituição direta: trocar
em por .
- Simplificando o denominador:
- Logo:
- Restrição de domínio: a expressão só está definida quando o denominador não é zero, ou seja
. Note que não é proibido aqui (a composição usa antes de ), então apenas .
Passo 4
Calcular
.
- Substituição:
. Aqui . Então
- Para somar, coloque sobre o mesmo denominador
:
- Desenvolvendo o numerador:
- Portanto
- Restrição de domínio:
. Não há outra restrição além dessa (pois é polinomial e definida para todo ).
Passo 5
Calcular
.
- Substituição:
com . Assim
- Trabalhar o denominador interno: colocar em comum denominador
:
- Agora a fração original fica (divisão de frações = multiplicar pelo inverso):
- Cancelando
(desde que , condição aqui também):
-
Opcionalmente pode escrever
, mas deixo na forma . -
Restrições de domínio: inicialmente precisamos
(para existir) e também o novo denominador (para existir). Observação consistente: resolver dá , que é a razão pela qual é proibido.
Passo 6
Calcular
.
- Substituição direta:
, então
- Simplificando:
- Restrição de domínio: nenhuma adicional — é um polinômio definido para todo
.