Para cada par de funções f(x) e g(x), determine as seguintes composições:
i. (f \circ g)(x)=f(g(x))
ii. (g \circ f)(x)=g(f(x))
iii. (f \circ f)(x)=f(f(x))
iv. (g \circ g)(x)=g(g(x))
Sendo:
f(x)=\frac{x}{x-2}, g(x)=x+4

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede calcular as quatro composições:
    1. (f\circ g)(x)=f(g(x))
    2. (g\circ f)(x)=g(f(x))
    3. (f\circ f)(x)=f(f(x))
    4. (g\circ g)(x)=g(g(x))
  • As funções fornecidas são:
    • f(x)=\dfrac{x}{x-2}.
    • g(x)=x+4.
Vou fazer substituições diretas e simplificar passo a passo, e também comentar sobre restrições de domínio quando necessário.

Passo 2

Lembrete prático sobre composição: para calcular (h\circ k)(x)=h(k(x)) substitui-se toda a expressão k(x) no lugar de x na função h. Ou seja, sempre trocar o x externo pela expressão interna e depois simplificar.
Exemplo simples (apenas para fixar): se h(x)=2x e k(x)=x+1, então
(h\circ k)(x)=h(k(x))=2\cdot (x+1)=2x+2.
Agora aplico isso a f e g.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x)=f(g(x)).
  • Substituição direta: trocar x em f por g(x)=x+4.
f(g(x))=\frac{\,g(x)\,}{\,g(x)-2\,}=\frac{\,x+4\,}{\,x+4-2\,}.
  • Simplificando o denominador:
x+4-2=x+2.
  • Logo:
(f\circ g)(x)=\frac{x+4}{x+2}.
  • Restrição de domínio: a expressão só está definida quando o denominador não é zero, ou seja x+2\neq0\Rightarrow x\neq-2. Note que x=2 não é proibido aqui (a composição usa g(x) antes de f), então apenas x\neq-2.

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x)=g(f(x)).
  • Substituição: g(u)=u+4. Aqui u=f(x)=\dfrac{x}{x-2}. Então
g(f(x))=f(x)+4=\frac{x}{x-2}+4.
  • Para somar, coloque sobre o mesmo denominador x-2:
\frac{x}{x-2}+4=\frac{x}{x-2}+\frac{4(x-2)}{x-2}=\frac{x+4(x-2)}{x-2}.
  • Desenvolvendo o numerador:
x+4(x-2)=x+4x-8=5x-8.
  • Portanto
(g\circ f)(x)=\frac{5x-8}{x-2}.
  • Restrição de domínio: x-2\neq0\Rightarrow x\neq2. Não há outra restrição além dessa (pois g é polinomial e definida para todo u).

Passo 5

Calcular (f\circ f)(x)=f(f(x)).
  • Substituição: f(u)=\dfrac{u}{u-2} com u=f(x)=\dfrac{x}{x-2}. Assim
f(f(x))=\frac{\dfrac{x}{x-2}}{\dfrac{x}{x-2}-2}.
  • Trabalhar o denominador interno: colocar em comum denominador x-2:
\frac{x}{x-2}-2=\frac{x}{x-2}-\frac{2(x-2)}{x-2}=\frac{x-2x+4}{x-2}=\frac{4-x}{x-2}.
  • Agora a fração original fica (divisão de frações = multiplicar pelo inverso):
f(f(x))=\frac{\dfrac{x}{x-2}}{\dfrac{4-x}{x-2}} =\frac{x}{x-2}\cdot\frac{x-2}{4-x}.
  • Cancelando x-2 (desde que x\neq2, condição aqui também):
f(f(x))=\frac{x}{4-x}.
  • Opcionalmente pode escrever \dfrac{x}{4-x}=-\dfrac{x}{x-4}, mas deixo na forma \dfrac{x}{4-x}.
  • Restrições de domínio: inicialmente precisamos x\neq2 (para f(x) existir) e também o novo denominador 4-x\neq0\Rightarrow x\neq4 (para f(f(x)) existir). Observação consistente: resolver f(x)=2 x=4, que é a razão pela qual x=4 é proibido.

Passo 6

Calcular (g\circ g)(x)=g(g(x)).
  • Substituição direta: g(x)=x+4, então
g(g(x))=g(x+4)=(x+4)+4.
  • Simplificando:
(g\circ g)(x)=x+8.
  • Restrição de domínio: nenhuma adicional — é um polinômio definido para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(f\circ g)(x)=\dfrac{x+4}{x+2} \quad (definida para x\neq-2)
(g\circ f)(x)=\dfrac{5x-8}{x-2} \quad (definida para x\neq2)
(f\circ f)(x)=\dfrac{x}{4-x} \quad (definida para x\neq2,\;x\neq4)
(g\circ g)(x)=x+8 \quad (definida para todo x)

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