Para cada par de números naturais a e b dados abaixo, ache ( a, b ) e determine números inteiros x e y tais que a x+b y=(a, b).
551 e 874

Passo 1

O que o exercício pede: para os números naturais dados, (a,b) = (551,874), devemos:
  1. encontrar o máximo divisor comum (551,874);
  2. determinar inteiros x e y tais que 551x+874y=(551,874).
Informações fornecidas:
\;a=551, \;b=874. Não há outras condições; a tarefa é aplicar o algoritmo de Euclides e encontrar coeficientes de Bézout.

Passo 2

Breve aula: definição e ideia do método que vamos usar.
  • O máximo divisor comum de dois inteiros m e n (não ambos zero) é o maior inteiro positivo que divide m e n.
  • Algoritmo de Euclides (divisão sucessiva): se faz divisões com resto
m = n\cdot q + r,\qquad 0\le r<n,
então (m,n)=(n,r). Repetindo até obter resto zero, o último resto não nulo é o \gcd.
  • Identidade de Bézout: existem inteiros x,y tais que mx+ny=\gcd(m,n). Para obter x,y usamos a versão estendida do algoritmo de Euclides, fazendo substituições retroativas (back-substitution) nas igualdades das divisões.
Vou aplicar o algoritmo passo a passo e depois fazer a substituição para achar x e y.

Passo 3

Aplicando o algoritmo de Euclides às divisões entre 874 e 551. Faço cada divisão exibindo quociente e resto:
874 = 551\cdot 1 + 323
551 = 323\cdot 1 + 228
323 = 228\cdot 1 + 95
228 = 95\cdot 2 + 38
95 = 38\cdot 2 + 19
38 = 19\cdot 2 + 0

Passo 4

Conclusão do algoritmo: o último resto não nulo é 19. Portanto
(551,874)=19.
Explicação curta: cada resto sucessivo é o gcd dos pares anteriores; como o último resto não nulo é 19, este é o \gcd.

Passo 5

Agora vamos escrever 19 como combinação linear de 551 e 874 (identidade de Bézout) usando substituições das igualdades acima. Primeiro, extraio as igualdades relevantes expressando restos:
Da quinta divisão temos
19 = 95 - 38\cdot 2.
Da quarta divisão temos
38 = 228 - 95\cdot 2.
Da terceira divisão temos
95 = 323 - 228.
Da segunda divisão temos
228 = 551 - 323.
Da primeira divisão temos
323 = 874 - 551.

Passo 6

Substituições passo a passo para escrever 19 em termos de 551 e 874.
  1. Substituo \;38=\;228-95\cdot2 em \;19=95-38\cdot2:
19 = 95 - 2(228 - 95\cdot 2) = 95 -2\cdot 228 +4\cdot 95 = 5\cdot 95 -2\cdot 228.
  1. Substituo \;95=323-228 em cima:
19 = 5(323-228) -2\cdot 228 = 5\cdot 323 -5\cdot 228 -2\cdot 228 = 5\cdot 323 -7\cdot 228.
  1. Substituo \;228=551-323:
19 = 5\cdot 323 -7(551-323) = 5\cdot 323 -7\cdot 551 +7\cdot 323 = 12\cdot 323 -7\cdot 551.
  1. Substituo \;323=874-551:
19 = 12(874-551) -7\cdot 551 = 12\cdot 874 -12\cdot 551 -7\cdot 551 = 12\cdot 874 -19\cdot 551.

Passo 7

Interpretação final: a expressão obtida é
19 = -19\cdot 551 + 12\cdot 874.
Isso significa que podemos escolher x=-19 e y=12 para a identidade de Bézout
551x + 874y = 19.

Passo 8

Verificação numérica rápida (confirmação que bate):
551\cdot(-19) = -10469,\qquad 874\cdot 12 = 10488,
-10469 + 10488 = 19,
confirmando que a combinação está correta. Força aí — deu certo!

Resposta

(551,874)=19
x=-19,\; y=12

Exercícios relacionados