Para cada par de números naturais
e
dados abaixo, ache (
) e determine números inteiros
e
tais que
.
551 e 874
551 e 874
Passo 1
O que o exercício pede: para os números naturais dados,
, devemos:
- encontrar o máximo divisor comum
; - determinar inteiros
e tais que .
Informações fornecidas:
,
. Não há outras condições; a tarefa é aplicar o algoritmo de Euclides e encontrar coeficientes de Bézout.
Passo 2
Breve aula: definição e ideia do método que vamos usar.
- O máximo divisor comum de dois inteiros
e (não ambos zero) é o maior inteiro positivo que divide e . - Algoritmo de Euclides (divisão sucessiva): se faz divisões com resto
então
. Repetindo até obter resto zero, o último resto não nulo é o
.
- Identidade de Bézout: existem inteiros
tais que . Para obter usamos a versão estendida do algoritmo de Euclides, fazendo substituições retroativas (back-substitution) nas igualdades das divisões.
Vou aplicar o algoritmo passo a passo e depois fazer a substituição para achar
e
.
Passo 3
Aplicando o algoritmo de Euclides às divisões entre
e
. Faço cada divisão exibindo quociente e resto:
Passo 4
Conclusão do algoritmo: o último resto não nulo é
. Portanto
Explicação curta: cada resto sucessivo é o gcd dos pares anteriores; como o último resto não nulo é
, este é o
.
Passo 5
Agora vamos escrever
como combinação linear de
e
(identidade de Bézout) usando substituições das igualdades acima. Primeiro, extraio as igualdades relevantes expressando restos:
Da quinta divisão temos
Da quinta divisão temos
Da quarta divisão temos
Da terceira divisão temos
Da segunda divisão temos
Da primeira divisão temos
Passo 6
Substituições passo a passo para escrever
em termos de
e
.
- Substituo
em :
- Substituo
em cima:
- Substituo
:
- Substituo
:
Passo 7
Interpretação final: a expressão obtida é
Isso significa que podemos escolher
e
para a identidade de Bézout
Passo 8
Verificação numérica rápida (confirmação que bate):
confirmando que a combinação está correta. Força aí — deu certo!