Calcule as seguinte integrais:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
.
Informações dadas: a função a ser integrada é . O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há outras restrições.
Informações dadas: a função a ser integrada é
Passo 2
Observação sobre a forma da integranda (dica de método): a expressão tem uma potência composta
e um fator extra com
. Isso costuma indicar que uma substituição do tipo
pode simplificar, porque a derivada de
é
, que aparece (parcialmente) no produto
. Vamos testar essa substituição.
Passo 3
Faça a substituição
Calculamos
em função de
:
Também expressamos
em termos de
:
Passo 4
Reescrevemos a integranda usando
e as substituições acima:
Agora substituímos
e
:
Passo 5
A integral em
fica
Multiplicando os fatores:
logo
Passo 6
Integramos termo a termo usando a regra da potência para integrais: para
,
Aplicando com
e
:
Passo 7
Simplificamos os coeficientes:
Então a primitiva em termos de
é
Passo 8
Voltamos à variável original
substituindo
:
Passo 9
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida usando a regra da cadeia,
onde usamos
e
. Confere com a integranda original.