Calcule as seguinte integrais:
\int x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\displaystyle \int x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4}\,dx.
Informações dadas: a função a ser integrada é x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4}. O objetivo é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4}. Não há outras restrições.

Passo 2

Observação sobre a forma da integranda (dica de método): a expressão tem uma potência composta \left(x^{2}+1\right)^{4} e um fator extra com x. Isso costuma indicar que uma substituição do tipo u=x^{2}+1 pode simplificar, porque a derivada de x^{2}+1 é 2x, que aparece (parcialmente) no produto x^{3} = x^{2}\cdot x. Vamos testar essa substituição.

Passo 3

Faça a substituição
u = x^{2}+1.
Calculamos du em função de dx:
du = 2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.
Também expressamos x^{2} em termos de u:
x^{2} = u - 1.

Passo 4

Reescrevemos a integranda usando x^{3}=x^{2}\cdot x e as substituições acima:
x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4}\,dx = x^{2}\cdot x\cdot u^{4}\,dx.
Agora substituímos x^{2}=u-1 e x\,dx=\dfrac{du}{2}:
x^{2}\cdot x\cdot u^{4}\,dx = (u-1)\,u^{4}\cdot\frac{du}{2}.

Passo 5

A integral em u fica
\int x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4}\,dx = \frac{1}{2}\int (u-1)u^{4}\,du.
Multiplicando os fatores:
(u-1)u^{4} = u^{5}-u^{4},
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\frac{1}{2}\int (u^{5}-u^{4})\,du.

Passo 6

Integramos termo a termo usando a regra da potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando com n=5 e n=4:
\frac{1}{2}\left(\frac{u^{6}}{6}-\frac{u^{5}}{5}\right)+C.

Passo 7

Simplificamos os coeficientes:
\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{6} = \frac{1}{12},\qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{5} = \frac{1}{10}.
Então a primitiva em termos de u é
\frac{1}{12}u^{6}-\frac{1}{10}u^{5}+C.

Passo 8

Voltamos à variável original x substituindo u=x^{2}+1:
\boxed{\frac{1}{12}\left(x^{2}+1\right)^{6}-\frac{1}{10}\left(x^{2}+1\right)^{5}+C.}

Passo 9

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando a primitiva obtida usando a regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{12}u^{6}-\frac{1}{10}u^{5}\right) = \left(\frac{1}{12}\cdot 6u^{5}-\frac{1}{10}\cdot 5u^{4}\right)\frac{du}{dx} = \left(\frac{1}{2}u^{5}-\frac{1}{2}u^{4}\right)\cdot 2x = x(u^{5}-u^{4}) = x^{3}\left(x^{2}+1\right)^{4},
onde usamos u=x^{2}+1 e \dfrac{du}{dx}=2x. Confere com a integranda original.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}\left(x^{2}+1\right)^{6}-\frac{1}{10}\left(x^{2}+1\right)^{5}+C

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