Para cada par de retas dado, analise a posição entre as retas e determine qual a distância de uma a outra.
r1:lx=1-2 t y=-2-t ; z=t t in R e r2:lx=4+s y=-5-s ; z=3+s ; s in R.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Temos duas retas no espaço, cada uma definida por equações paramétricas. Nosso objetivo é entender como essas retas estão posicionadas uma em relação à outra (se são paralelas, se interceptam ou são “desalinhadas”) e, se forem paralelas ou desalinhadas, calcular a distância entre elas. Para isso, vamos precisar trabalhar com vetores direcionais das retas e usar alguns conceitos de geometria espacial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores direcionais de cada reta. O vetor direcional de uma reta paramétrica é dado pelos coeficientes das variáveis parametrizadas.
Para a reta [r_1):
O vetor direcional é (\vec{v}_1 = (-2, -1, 1)].
Para a reta [r_2):
O vetor direcional é (\vec{v}_2 = (1, -1, 1)].

Passo 3

Agora, vamos verificar se as retas são paralelas. Duas retas são paralelas se os vetores direcionais são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um número k tal que v1 = k cdot v2 .
Vamos comparar os componentes:
-2 = k cdot 1 implies k = -2 -1 = k cdot (-1) implies k = 1 1 = k cdot 1 implies k = 1
Como não existe um único valor de k que satisfaça todas as igualdades, as retas r1 e r2 não são paralelas.

Passo 4

Como as retas não são paralelas, precisamos verificar se elas se interceptam, ou seja, se existe um ponto que pertence às duas retas simultaneamente. Para isso, igualamos as equações paramétricas e resolvemos o sistema:
1 - 2t = 4 + s -2 - t = -5 - s t = 3 + s
Resolvendo a terceira equação para t :
t = 3 + s
Substituindo t na primeira equação:
1 - 2(3 + s) = 4 + s 1 - 6 - 2s = 4 + s -5 - 2s = 4 + s -3s = 9 s = -3
Agora, substituindo s = -3 na terceira equação:
t = 3 + (-3) = 0
Vamos verificar na segunda equação:
-2 - 0 = -5 - (-3) -2 = -2
A igualdade se confirma, então as retas se interceptam no ponto correspondente a t = 0 e s = -3 .

Resposta

As retas r1 e r2 se interceptam no ponto (1, -2, 0) , ou seja, a distância entre elas é zero.

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