Para cada par de retas dado, analise a posição entre as retas e determine qual a distância de uma a outra.
r1:lx=1-2 t y=2-t ; z=t ; t in R e r2:lx=1-4 s y=1+2 s ; z=1-2 s ; s in R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente analisar a posição entre duas retas no espaço e descobrir qual é a distância entre elas. Vamos usar conceitos de geometria analítica, principalmente sobre retas no espaço e a fórmula para calcular a distância entre duas retas paralelas ou que não se cruzam.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
Para a reta [r_{1}):
Para a reta (r_{2}]:

Passo 3

Vamos verificar se as retas são paralelas. Para isso, comparamos os vetores diretores de cada reta.
O vetor diretor da reta r1 é v1 = (-2, -1, 1) e o da reta r2 é v2 = (-4, 2, -2) .
Observando, vemos que v2 = 2 times v1 , ou seja, (-4, 2, -2) = 2 times (-2, -1, 1) . Portanto, as retas são paralelas.

Passo 4

Como as retas são paralelas, a distância entre elas pode ser calculada usando a fórmula da distância entre duas retas paralelas no espaço. A fórmula é:
d = |PQ cdot n||n|
Onde:
  • PQ é o vetor que liga um ponto da reta r1 a um ponto da reta r2 .
  • n é um vetor normal às retas, que pode ser tomado como o próprio vetor diretor, já que são paralelos.

Passo 5

Vamos escolher pontos em cada reta para facilitar. Na reta r1 , para t = 0 :
P = (1, 2, 0)
Na reta r2 , para s = 0 :
Q = (1, 1, 1)
Agora, calculamos o vetor PQ :
PQ = Q - P = (1-1, 1-2, 1-0) = (0, -1, 1)

Passo 6

O vetor diretor v que vamos usar é o mesmo de antes, por exemplo, v = (-2, -1, 1) .
Agora, calculamos o produto vetorial PQ times v :
PQ times v = i & j & k 0 & -1 & 1 -2 & -1 & 1 = i((-1)(1) - (1)(-1)) - j(0 cdot 1 - 1 cdot (-2)) + k(0 cdot (-1) - (-1)(-2))
= i(-1 + 1) - j(0 + 2) + k(0 - 2)
= i(0) - j(2) + k(-2)
= (0, -2, -2)

Passo 7

Agora, calculamos o módulo desse produto vetorial:
|PQ times v| = raiz0^2 + (-2)^2 + (-2)^2 = raiz0 + 4 + 4 = raiz8 = 2raiz2
O módulo do vetor diretor v é:
|v| = raiz(-2)^2 + (-1)^2 + 1^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6

Passo 8

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 2raiz2raiz6 = 2raiz2 times raiz66 = 2raiz126 = 2 times 2raiz36 = 4raiz36 = 2raiz33

Resposta

A distância entre as retas r1 e r2 é 2raiz33 .

Exercícios relacionados