Para cada par de retas dado, analise a posição entre as retas e determine qual a distância de uma a outra.
r1:lx=-3+t y=0 z=-t ; t in R e r2:lx=1+s y=1-s ; z=2-s ; s in R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço tridimensional e precisa descobrir como elas estão posicionadas uma em relação à outra e qual é a distância entre elas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre retas no espaço e cálculo de distâncias entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas:
A reta [r_1) é dada por:
onde (t \in \mathbb{R}].
A reta [r_2) é dada por:
onde (s \in \mathbb{R}].

Passo 3

Vamos verificar se as retas são paralelas, coincidentes ou se são retas inclinadas (skew lines).
Para isso, identificamos os vetores diretores de cada reta. O vetor diretor é o coeficiente de t ou s nas equações paramétricas.
  • Vetor diretor de r1 : d1 = lang<= 1, 0, -1 rang<=
  • Vetor diretor de r2 : d2 = lang<= 1, -1, -1 rang<=

Passo 4

Para saber se as retas são paralelas, verificamos se os vetores diretores são múltiplos um do outro. Ou seja, se existe um número k tal que d1 = k cdot d2 .
Aqui, vemos que:
lang<= 1, 0, -1 rang<= neq k cdot lang<= 1, -1, -1 rang<=
não existe um k que satisfaça todas as componentes ao mesmo tempo. Portanto, as retas não são paralelas.

Passo 5

Agora, vamos verificar se as retas se interceptam, ou seja, se existe um ponto que pertence a ambas.
Para isso, igualamos as equações das retas:
-3 + t = 1 + s 0 = 1 - s -t = 2 - s
Da segunda equação, 0 = 1 - s , temos s = 1 .
Substituindo s = 1 na primeira equação:
-3 + t = 1 + 1 implies -3 + t = 2 implies t = 5
Agora, verificamos na terceira equação:
-5 = 2 - 1 implies -5 = 1
Isso não é verdadeiro, então não há ponto que satisfaça todas as equações simultaneamente. As retas não se interceptam.

Passo 6

Como as retas não são paralelas nem se interceptam, elas são retas inclinadas ou “skew”. Agora, precisamos calcular a distância entre elas.
A fórmula para a distância D entre duas retas inclinadas é:
D = |d1 times d2 cdot P2P1||d1 times d2|
onde P2P1 é o vetor que une um ponto de r1 a um ponto de r2 .

Passo 7

Escolhemos pontos nas retas:
  • Ponto em r1 quando t = 0 : P1 = (-3, 0, 0)
  • Ponto em r2 quando s = 0 : P2 = (1, 1, 2)
Então, o vetor P2P1 é:
P2P1 = lang<= -3 - 1, 0 - 1, 0 - 2 rang<= = lang<= -4, -1, -2 rang<=

Passo 8

Agora, calculamos o produto vetorial d1 times d2 :
d1 times d2 = i & j & k 1 & 0 & -1 1 & -1 & -1 = i(0 cdot (-1) - (-1) cdot (-1)) - j(1 cdot (-1) - (-1) cdot 1) + k(1 cdot (-1) - 0 cdot 1)
= i(0 - 1) - j(-1 - (-1)) + k(-1 - 0) = lang<= -1, 0, -1 rang<=

Passo 9

Calculamos o produto escalar d1 times d2 cdot P2P1 :
lang<= -1, 0, -1 rang<= cdot lang<= -4, -1, -2 rang<= = (-1)(-4) + (0)(-1) + (-1)(-2) = 4 + 0 + 2 = 6
O valor absoluto é |6| = 6 .

Passo 10

Calculamos o módulo do produto vetorial:
|d1 times d2| = raiz(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz1 + 0 + 1 = raiz2

Passo 11

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
D = 6raiz2 = 6raiz22 = 3raiz2

Resposta

A distância entre as retas r1 e r2 é 3raiz2 unidades.

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