Para cada par de vetores u=\left(x_{1}, x_{2}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}\right) de \mathbb{R}^{2}, defina
\langle u, v\rangle=2 x_{1} y_{1}-x_{1} y_{2}-x_{2} y_{1}+2 x_{2} y_{2}
Prove que \langle, \rangle é um produto interno em \mathbb{R}^{2}é. Ache todos os vetores de \mathbb{R}^{2} que são ortogonais ao vetor (1,0). Calcule \|(1,0)\|.

Passo 1

O enunciado define em \mathbb{R}^2 a aplicação
\langle u,v\rangle \;=\;2x_1y_1 \;-\;x_1y_2\;-\;x_2y_1\;+\;2x_2y_2,
onde u=(x_1,x_2) e v=(y_1,y_2). Precisamos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade definida), depois achar todos os vetores ortogonais a (1,0) e, por fim, calcular \|(1,0)\|.

Passo 2

(Linearidade e simetria)
Defina a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -1 \\[6pt] -1 & 2\end{pmatrix}.
Nota-se que A=A^T. Então, escrevendo
\langle u,v\rangle = u^T A v,
temos imediatamente
  1. Simetria:
\langle u,v\rangle = u^T A v = v^T A^T u = v^T A u = \langle v,u\rangle.
  1. Bilinearidade: segue da linearidade do produto matricial em cada argumento.]

Passo 3

(Positividade definida)
Calcule
\langle u,u\rangle =2x_1^2 -2x_1x_2 +2x_2^2 =2\bigl(x_1^2 -x_1x_2 +x_2^2\bigr).
Note que o discriminante do polinômio x_1^2 -x_1x_2 +x_2^2 em relação a x_1 é (-x_2)^2-4\cdot1\cdot x_2^2=-3x_2^2<0, logo x_1^2 -x_1x_2 +x_2^2>0 sempre que (x_1,x_2)\neq(0,0). Portanto \langle u,u\rangle>0 para u\neq0 e \langle u,u\rangle=0 só em u=0.

Passo 4

(Vetores ortogonais a (1,0)))
Queremos v=(y_1,y_2) tal que
\langle(1,0),v\rangle =2\cdot1\cdot y_1 \;-\;1\cdot y_2 \;-\;0\cdot y_1 \;+\;0\cdot y_2 =2y_1-y_2=0.
Logo y_2=2y_1. Assim, todos os vetores ortogonais a (1,0) são da forma
(y_1,y_2)=(t,2t),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 5

(Cálculo da norma de (1,0)))
\|(1,0)\| =\sqrt{\langle(1,0),(1,0)\rangle} =\sqrt{2\cdot1^2-0+0+0} =\sqrt{2}.

Resposta

O formulário definido é um produto interno.
Os vetores ortogonais a (1,0) são todos os múltiplos de (1,2), i.e.\ (t,2t).
E \|(1,0)\|=\sqrt{2}.

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