Para cada par de vetores
e
de
, defina
Prove que
,
. Ache todos os vetores de
que são ortogonais ao vetor
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado define em
a aplicação
onde
e
. Precisamos mostrar que isso satisfaz as três propriedades de produto interno (bilinearidade, simetria e positividade definida), depois achar todos os vetores ortogonais a
e, por fim, calcular
.
Passo 2
(Linearidade e simetria)
Defina a matriz
Defina a matriz
Nota-se que
. Então, escrevendo
temos imediatamente
- Simetria:
- Bilinearidade: segue da linearidade do produto matricial em cada argumento.]
Passo 3
(Positividade definida)
Calcule
Calcule
Note que o discriminante do polinômio
em relação a
é
, logo
sempre que
. Portanto
para
e
só em
.
Passo 4
(Vetores ortogonais a
))
Queremos tal que
Queremos
Logo
. Assim, todos os vetores ortogonais a
são da forma
Passo 5
(Cálculo da norma de
))
Resposta
O formulário definido é um produto interno.
Os vetores ortogonais a são todos os múltiplos de
, i.e.\
.
E .
Os vetores ortogonais a
E