Para cada uma das parametrizações abaixo, reparametrize pelo comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva.
.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede três coisas:
- reparametrizar por comprimento de arco (ou seja, achar
); - obter o triedro de Frenet (vetores unitários
); - calcular a curvatura
e a torção .
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- expressão explícita de
para todo ; - domínio completo é um período de
, mas a curva depende de (portanto repete-se a cada ); - em certos
a derivada pode anular (isso afeta a reparametrização por comprimento e a definição do triedro).
Passo 2
Primeiro simplificar
usando identidades trigonométricas. Note que
Logo podemos escrever
Defina os vetores constantes
Então
Isto mostra algo muito importante:
é combinação afim de vetores constantes — ou seja, a imagem de
está contida numa reta (interseção de dois planos). Em particular a curva é um segmento de reta percorrido para frente e para trás conforme
varia.
Para trabalhar com direções, note que o vetor
satisfaz
. O módulo de
é
O versor (vetor unitário) na direção da reta é
Passo 3
Calcular derivadas de
. Usando
ou diferenciando diretamente:
Como
, fica
Derivando novamente:
Repare que
são todos colineares com o mesmo vetor constante
. Isso confirma que a trajetória é uma reta (ou um segmento de reta): todas as derivadas são paralelas.
Velocidade:
Portanto a velocidade zera quando
, ou seja para
. Nesses instantes a parametrização pára (pontos de inversão do movimento).
Passo 4
Reparametrização por comprimento de arco. O comprimento de arco desde
até
é
Por causa do valor absoluto é natural dividir o intervalo em arcos onde
tem sinal constante. Vou explicitar o primeiro arco sem sinal de
, isto é o intervalo onde
: isso ocorre para
. Em
temos
Para esse trecho
varia de
(em
) até
Assim o comprimento total do segmento percorrido entre
e
é
.
Invertendo (para este primeiro trecho onde a função é invertível),
portanto uma reparametrização por comprimento, para
, é obtida substituindo
por
em
. Fazendo isso obtemos uma forma linear em
:
Verifique que esta expressão pode ser escrita como
Isto é muito intuitivo: em cada trecho sem mudança de sinal de
a curva é parametrizada por deslocamento linear ao longo da reta com velocidade constante
em relação a
.
Observação sobre todo o intervalo
: a curva é percorrida para a frente em
, depois para trás em
, e assim por diante, portanto a reparametrização por comprimento global é necessariamente construída por trechos lineares do tipo acima com sinal de
trocado quando
muda de sinal. Mas para a prova normalmente basta apresentar um trecho padrão (por exemplo
).
Passo 5
Cálculo do triedro de Frenet, curvatura e torção.
Definições úteis (aulas rápidas):
- O vetor unitário tangente é
. Ele aponta a direção de movimento por unidade de comprimento. - A curvatura pode ser dada por
Intuitivamente,
mede a taxa de variação do vetor tangente por unidade de comprimento; se a direção do tangente não muda,
.
- Quando
, define-se o vetor normal unitário e o binormal . A torção é
medindo como a curva “sai” do plano osculador; note que essa fórmula tem denominador
e, portanto, exige
.
No nosso caso, como vimos no Passo 3,
e
são colineares (ambos múltiplos do mesmo vetor
). Logo
. Portanto
Geometricamente isso corresponde ao fato da curva ser uma reta: retas têm curvatura nula.
Com
a definição habitual de
via
falha (divisão por zero), isto é, o triedro de Frenet padrão NÃO é definido de maneira única para retas. O vetor tangente unitário, porém, é bem definido (em trechos onde
):
ou seja, em cada trecho entre pontos onde
muda de sinal,
é o vetor constante
(ou seu oposto, dependendo do sentido).
Como
, a torção pela fórmula padrão não é definida (divisão por zero). Formalmente a torção de Frenet-Serret precisa de
; porém, da perspectiva geométrica, uma reta está contida em qualquer plano e não “torce” no espaço, então é natural dizer que a torção geométrica é
. Mas atenção: no contexto estrito do triedro de Frenet,
não é definido quando
.
Passo 6
Para dar um triedro explícito (uma escolha possível, lembrando que não é única quando
) escolhemos um normal unitário qualquer perpendicular a
. Uma escolha conveniente é
pois
. O binormal escolhido então é
(Confirme que
e que
são mutuamente ortogonais.) Esta é uma base ortonormal constante ao longo do trecho da reta — válida como triedro em qualquer ponto onde a parametrização tenha velocidade não nula. Como
são constantes, suas derivadas em relação a
são zero e, consequentemente, as quantidades de Frenet (no sentido diferencial) indicam
e, formalmente,
indefinida; se for adotada a convenção geométrica, pode-se atribuir
.
Resposta
Reparametrização por comprimento (trecho
):
Vetor tangente unitário (em trechos sem mudança de sinal de ):
(ou o oposto se o sentido inverte).
Uma escolha possível para o normal e binormal (não única, pois ):
Curvatura: para todos os
onde
.
Torção: não é definida pelo formalismo de Frenet-Serret quando
(geometricamente a reta não tem torção, convém dizer
por convenção).
Vetor tangente unitário (em trechos sem mudança de sinal de
Uma escolha possível para o normal e binormal (não única, pois
Curvatura:
Torção: