Para cada uma das parametrizações abaixo, reparametrize pelo comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva.
\gamma(t)=\left(\cos ^{2} t, \operatorname{sen}^{2} t, \cos 2 t\right), t \in[0,2 \pi].

Passo 1

O enunciado dá a curva
\gamma(t)=\big(\cos^{2}t,\;\sin^{2}t,\;\cos 2t\big),\qquad t\in[0,2\pi],
e pede três coisas:
  • reparametrizar por comprimento de arco (ou seja, achar s\mapsto \widetilde\gamma(s));
  • obter o triedro de Frenet (vetores unitários T,N,B);
  • calcular a curvatura \kappa e a torção \tau.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • expressão explícita de \gamma(t) para todo t\in[0,2\pi];
  • domínio completo é um período de 2\pi, mas a curva depende de 2t (portanto repete-se a cada \pi);
  • em certos t a derivada pode anular (isso afeta a reparametrização por comprimento e a definição do triedro).

Passo 2

Primeiro simplificar \gamma(t) usando identidades trigonométricas. Note que
\cos^{2}t=\frac{1+\cos 2t}{2},\qquad \sin^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}.
Logo podemos escrever
\gamma(t)=\Big(\tfrac12,\tfrac12,0\Big)+\cos 2t\Big(\tfrac12,-\tfrac12,1\Big).
Defina os vetores constantes
p_0=\Big(\tfrac12,\tfrac12,0\Big),\qquad v=\Big(\tfrac12,-\tfrac12,1\Big).
Então
\gamma(t)=p_0+\cos 2t\;v.
Isto mostra algo muito importante: \gamma(t) é combinação afim de vetores constantes — ou seja, a imagem de \gamma está contida numa reta (interseção de dois planos). Em particular a curva é um segmento de reta percorrido para frente e para trás conforme t varia.
Para trabalhar com direções, note que o vetor
d=(-1,1,-2)
satisfaz d=-2v. O módulo de d é
\|d\|=\sqrt{(-1)^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}.
O versor (vetor unitário) na direção da reta é
u=\frac{d}{\|d\|=\sqrt6}=\frac{1}{\sqrt6}(-1,1,-2).

Passo 3

Calcular derivadas de \gamma. Usando \gamma(t)=p_0+\cos2t\,v ou diferenciando diretamente:
\gamma'(t)=-2\sin2t\;v.
Como v=-\tfrac12 d, fica
\gamma'(t)=\sin2t\;d.
Derivando novamente:
\gamma''(t)=2\cos2t\;d, \qquad \gamma'''(t)=-4\sin2t\;d.
Repare que \gamma',\gamma'',\gamma''' são todos colineares com o mesmo vetor constante d. Isso confirma que a trajetória é uma reta (ou um segmento de reta): todas as derivadas são paralelas.
Velocidade:
\|\gamma'(t)\|=|\sin2t|\;\|d\|=|\sin2t|\sqrt6.
Portanto a velocidade zera quando \sin2t=0, ou seja para t=0,\tfrac{\pi}{2},\pi,\tfrac{3\pi}{2},2\pi. Nesses instantes a parametrização pára (pontos de inversão do movimento).

Passo 4

Reparametrização por comprimento de arco. O comprimento de arco desde t_0=0 até t é
s(t)=\int_{0}^{t}\|\gamma'(u)\|\,du=\sqrt6\int_{0}^{t}|\sin2u|\,du.
Por causa do valor absoluto é natural dividir o intervalo em arcos onde \sin2u tem sinal constante. Vou explicitar o primeiro arco sem sinal de |\cdot|, isto é o intervalo onde \sin2u\ge0: isso ocorre para u\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Em 0\le t\le \tfrac{\pi}{2} temos
s(t)=\sqrt6\int_{0}^{t}\sin2u\,du =\sqrt6\Big[-\tfrac12\cos2u\Big]_{0}^{t} =\frac{\sqrt6}{2}\big(1-\cos2t\big).
Para esse trecho s varia de 0 (em t=0) até
s\Big(\tfrac{\pi}{2}\Big)=\frac{\sqrt6}{2}(1-\cos\pi)=\frac{\sqrt6}{2}(1-(-1))=\sqrt6.
Assim o comprimento total do segmento percorrido entre t=0 e t=\tfrac{\pi}{2} é \sqrt6.
Invertendo (para este primeiro trecho onde a função é invertível),
\cos2t=1-\frac{2s}{\sqrt6}, \qquad 2t=\operatorname{arccos}\!\Big(1-\frac{2s}{\sqrt6}\Big),
portanto uma reparametrização por comprimento, para s\in[0,\sqrt6], é obtida substituindo \cos2t por 1-\dfrac{2s}{\sqrt6} em \gamma. Fazendo isso obtemos uma forma linear em s:
\widetilde\gamma(s)=\gamma(t(s))=\Big(1-\frac{s}{\sqrt6},\;\frac{s}{\sqrt6},\;1-\frac{2s}{\sqrt6}\Big),\qquad s\in[0,\sqrt6].
Verifique que esta expressão pode ser escrita como
\widetilde\gamma(s)=\gamma(0)+s\,u, \qquad \gamma(0)=(1,0,1),\quad u=\frac{1}{\sqrt6}(-1,1,-2).
Isto é muito intuitivo: em cada trecho sem mudança de sinal de \sin2t a curva é parametrizada por deslocamento linear ao longo da reta com velocidade constante 1 em relação a s.
Observação sobre todo o intervalo [0,2\pi]: a curva é percorrida para a frente em [0,\tfrac{\pi}{2}], depois para trás em [\tfrac{\pi}{2},\pi], e assim por diante, portanto a reparametrização por comprimento global é necessariamente construída por trechos lineares do tipo acima com sinal de u trocado quando \sin2t muda de sinal. Mas para a prova normalmente basta apresentar um trecho padrão (por exemplo 0\le t\le\tfrac{\pi}{2}).

Passo 5

Cálculo do triedro de Frenet, curvatura e torção.
Definições úteis (aulas rápidas):
  • O vetor unitário tangente é \;T=\dfrac{\gamma'}{\|\gamma'\|}. Ele aponta a direção de movimento por unidade de comprimento.
  • A curvatura pode ser dada por
\kappa=\frac{\|\gamma'\times\gamma''\|}{\|\gamma'\|^{3}}.
Intuitivamente, \kappa mede a taxa de variação do vetor tangente por unidade de comprimento; se a direção do tangente não muda, \kappa=0.
  • Quando \kappa\ne0, define-se o vetor normal unitário N=\dfrac{T'}{\|T'\|} e o binormal B=T\times N. A torção é
\tau=\frac{(\gamma'\times\gamma'')\cdot\gamma'''}{\|\gamma'\times\gamma''\|^2},
medindo como a curva “sai” do plano osculador; note que essa fórmula tem denominador \|\gamma'\times\gamma''\|^2 e, portanto, exige \kappa\ne0.
No nosso caso, como vimos no Passo 3, \gamma' e \gamma'' são colineares (ambos múltiplos do mesmo vetor d). Logo \gamma'\times\gamma''=0. Portanto
\kappa(t)=0\quad\text{para todo }t\text{ onde }\gamma'(t)\neq0.
Geometricamente isso corresponde ao fato da curva ser uma reta: retas têm curvatura nula.
Com \kappa=0 a definição habitual de N via T' falha (divisão por zero), isto é, o triedro de Frenet padrão NÃO é definido de maneira única para retas. O vetor tangente unitário, porém, é bem definido (em trechos onde \gamma'\neq0):
T(t)=\frac{\gamma'(t)}{\|\gamma'(t)\|} =\operatorname{sgn}(\sin2t)\,\frac{1}{\sqrt6}(-1,1,-2),
ou seja, em cada trecho entre pontos onde \sin2t muda de sinal, T é o vetor constante u=\dfrac{1}{\sqrt6}(-1,1,-2) (ou seu oposto, dependendo do sentido).
Como \kappa=0, a torção pela fórmula padrão não é definida (divisão por zero). Formalmente a torção de Frenet-Serret precisa de \kappa\ne0; porém, da perspectiva geométrica, uma reta está contida em qualquer plano e não “torce” no espaço, então é natural dizer que a torção geométrica é 0. Mas atenção: no contexto estrito do triedro de Frenet, \tau não é definido quando \kappa=0.

Passo 6

Para dar um triedro explícito (uma escolha possível, lembrando que não é única quando \kappa=0) escolhemos um normal unitário qualquer perpendicular a T. Uma escolha conveniente é
N=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0),
pois u\cdot N=0. O binormal escolhido então é
B=T\times N =\frac{1}{\sqrt3}\big(1,-1,-1\big).
(Confirme que \|N\|=\|B\|=1 e que T,N,B são mutuamente ortogonais.) Esta é uma base ortonormal constante ao longo do trecho da reta — válida como triedro em qualquer ponto onde a parametrização tenha velocidade não nula. Como T,N,B são constantes, suas derivadas em relação a s são zero e, consequentemente, as quantidades de Frenet (no sentido diferencial) indicam \kappa=0 e, formalmente, \tau indefinida; se for adotada a convenção geométrica, pode-se atribuir \tau=0.

Resposta

Reparametrização por comprimento (trecho 0\le t\le\tfrac{\pi}{2}): \displaystyle \widetilde\gamma(s)=\Big(1-\frac{s}{\sqrt6},\;\frac{s}{\sqrt6},\;1-\frac{2s}{\sqrt6}\Big),\; s\in[0,\sqrt6].
Vetor tangente unitário (em trechos sem mudança de sinal de \sin2t): \displaystyle T=\frac{1}{\sqrt6}(-1,1,-2) (ou o oposto se o sentido inverte).
Uma escolha possível para o normal e binormal (não única, pois \kappa=0): \displaystyle N=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0),\quad B=\frac{1}{\sqrt3}(1,-1,-1).
Curvatura: \displaystyle \kappa(t)=0 para todos os t onde \gamma'(t)\neq0.
Torção: \tau não é definida pelo formalismo de Frenet-Serret quando \kappa=0 (geometricamente a reta não tem torção, convém dizer \tau=0 por convenção).

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