Para cada uma das parametrizações abaixo, reparametrize pelo comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva.
\beta(t)=(2 t, t, \ln t), t \in(0,+\infty).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
\beta(t)=(2t,\;t,\;\ln t),\qquad t\in(0,+\infty),
e pede três coisas:
  • reparametrizar a curva por comprimento de arco (ou seja, encontrar s em função de t e a reparametrização r(s)=\beta(t(s)));
  • obter o triedro de Frenet (vetores unitários \,T,N,B\,), idealmente em função do parâmetro de escolha;
  • calcular a curvatura \kappa e a torção \tau.
Informações dadas importantes:
  • domínio: t>0;
  • eu vou precisar das derivadas primeiras, segundas (e terceiras, para a torção) de \beta;
  • para reparametrizar por comprimento de arco é necessário computar a velocidade \|\beta'(t)\| e integrar para obter s(t).

Passo 2

Calcular as derivadas de \beta. Derivando coordenada a coordenada em relação a t:
\beta'(t)=(2,\;1,\;1/t),
\beta''(t)=(0,\;0,\;-1/t^{2}),
\beta'''(t)=(0,\;0,\;2/t^{3}).
Aqui cada componente foi derivada normalmente: \dfrac{d}{dt}(2t)=2, \dfrac{d}{dt}(\ln t)=1/t, etc.

Passo 3

Calcular a velocidade \|\beta'(t)\| (módulo de \beta'):
\|\beta'(t)\|=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(1/t)^{2}}=\sqrt{5+\dfrac{1}{t^{2}}}=\dfrac{\sqrt{5t^{2}+1}}{t}.
A reparametrização por comprimento de arco parte da definição
s(t)=\int_{t_{0}}^{t}\|\beta'(u)\|\,du=\int_{t_{0}}^{t}\dfrac{\sqrt{5u^{2}+1}}{u}\,du,
com uma constante inicial escolhida por conveniência. Vou escolher t_{0}=1 e fixar s(1)=0 (isso é comum para simplificar a constante).
Agora calcular a integral. Para \displaystyle\int \dfrac{\sqrt{5u^{2}+1}}{u}\,du use a substituição hiperbólica
u=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\operatorname{sinh} w\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sinh} w=\sqrt{5}\,u,
então \sqrt{5u^{2}+1}=\operatorname{cosh} w e du=(1/\sqrt5)\operatorname{cosh} w\,dw. A integral fica
\int \dfrac{\sqrt{5u^{2}+1}}{u}\,du=\int\frac{\operatorname{cosh} w}{(1/\sqrt5)\operatorname{sinh} w}\cdot\frac{1}{\sqrt5}\operatorname{cosh} w\,dw =\int\frac{\operatorname{cosh}^{2}w}{\operatorname{sinh} w}\,dw.
Usando \operatorname{cosh}^{2}w=1+\operatorname{sinh}^{2}w obtemos
\frac{\operatorname{cosh}^{2}w}{\operatorname{sinh} w}=\operatorname{sinh} w+\operatorname{csch}w,
cuja primitiva é \operatorname{cosh} w+\ln|\operatorname{tanh}(w/2)|. Voltando a u com \operatorname{sinh} w=\sqrt{5}u e \operatorname{cosh} w=\sqrt{5u^{2}+1}, temos a primitiva
\sqrt{5u^{2}+1}+\ln\!\left(\frac{\sqrt5\,u}{1+\sqrt{5u^{2}+1}}\right)+C.
Com s(1)=0 escolhemos C tal que a expressão seja zero em u=1. Calculando a constante (mostro a ideia, o valor final do C é apenas uma constante):
s(t)=\sqrt{5t^{2}+1}-\sqrt{6}+\ln\!\left(\dfrac{t(1+\sqrt6)}{1+\sqrt{5t^{2}+1}}\right).
Esta expressão satisfaz s(1)=0. Assim obtemos a função arco s(t) explicitamente. Note que s é monótona crescente em t>0, logo invertível; a inversa t=t(s) existe mas sua expressão explícita é complicada (envolve manipulações com exponenciais e raízes), então manteremos t como parâmetro intermediário quando conveniente.

Passo 4

A reparametrização por comprimento de arco é
r(s)=\beta\big(t(s)\big)=\big(2\,t(s),\; t(s),\; \ln t(s)\big),
onde t(s) é a inversa da função s(t) dada no passo anterior. Para utilizar fórmulas de Frenet é suficiente trabalhar com expressões em termos de t (as fórmulas invariantes abaixo permitem isso), lembrando que para passar a depender de s basta substituir t=t(s).

Passo 5

Construir o vetor tangente unitário \,T. Por definição,
T(t)=\frac{\beta'(t)}{\|\beta'(t)\|}.
Usando \beta'(t)=(2,1,1/t) e \|\beta'\|=\dfrac{\sqrt{5t^{2}+1}}{t}, obtemos
T(t)=\dfrac{t}{\sqrt{5t^{2}+1}}(2,1,1/t)=\dfrac{1}{\sqrt{5t^{2}+1}}\,(2t,\;t,\;1).
(Isto é unitário por construção.)

Passo 6

Calcular a curvatura \kappa. Vou usar a fórmula conveniente em função do parâmetro arbitrário t:
\kappa(t)=\dfrac{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|}{\|\beta'(t)\|^{3}}.
Primeiro o produto vetorial (mostro cálculo passo a passo):
\beta'(t)\times\beta''(t)= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\[4pt] 2 & 1 & 1/t\\[4pt] 0 & 0 & -1/t^{2} \end{vmatrix} =\Big(-\dfrac{1}{t^{2}},\;\dfrac{2}{t^{2}},\;0\Big).
O módulo é \|\beta'\times\beta''\|=\dfrac{\sqrt{5}}{t^{2}}. Como \|\beta'\|=\dfrac{\sqrt{5t^{2}+1}}{t} segue
\kappa(t)=\dfrac{\sqrt{5}/t^{2}}{\big(\sqrt{5t^{2}+1}/t\big)^{3}} =\dfrac{\sqrt{5}\,t}{(5t^{2}+1)^{3/2}}.
Portanto a curvatura é
\boxed{\kappa(t)=\dfrac{\sqrt{5}\,t}{\big(5t^{2}+1\big)^{3/2}}.}]

Passo 7

Calcular o vetor normal unitário N. Uma expressão prática é
N=\dfrac{\big(\beta'\times\beta''\big)\times\beta'}{\|\beta'\times\beta''\|\,\|\beta'\|},
que dá diretamente um vetor unitário ortogonal a T. Já temos \beta'\times\beta''=\dfrac{1}{t^{2}}(-1,2,0). Calculemos o produto vetorial:
\big(\beta'\times\beta''\big)\times\beta'= \Big(\dfrac{-1}{t^{2}},\dfrac{2}{t^{2}},0\Big)\times(2,1,1/t) =\Big(\dfrac{2}{t^{3}},\dfrac{1}{t^{3}},-\dfrac{5}{t^{2}}\Big).
O fator \|\beta'\times\beta''\|\|\beta'\|=\dfrac{\sqrt5}{t^{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{5t^{2}+1}}{t} =\dfrac{\sqrt5\sqrt{5t^{2}+1}}{t^{3}}. Dividindo, obtemos
N(t)=\dfrac{1}{\sqrt5\sqrt{5t^{2}+1}}\,(2,\;1,\;-5t).
Verifique que \|N(t)\|=1 (quadrados somados no numerador dão 5+25t^{2}, o fator de normalização cancela).

Passo 8

Calcular o binormal B=T\times N. Como \beta'\times\beta'' é paralelo a B, uma forma direta é normalizar \beta'\times\beta'':
B(t)=\dfrac{\beta'(t)\times\beta''(t)}{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|} =\dfrac{1}{\sqrt5}(-1,\,2,\,0).
Note algo interessante: B(t) é constante (independe de t). Isso sugere que a curva é plana (torção zero), veremos isso no próximo passo.

Passo 9

Calcular a torção \tau. Uma fórmula conveniente em parâmetro arbitrário é
\tau(t)=\dfrac{\det\big(\beta'(t),\;\beta''(t),\;\beta'''(t)\big)}{\|\beta'(t)\times\beta''(t)\|^{2}}.
Calculemos o determinante:
\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1/t\\[4pt] 0 & 0 & -1/t^{2}\\[4pt] 0 & 0 & 2/t^{3} \end{pmatrix}=2\cdot\det\begin{pmatrix}0 & -1/t^{2}\\[4pt]0 & 2/t^{3}\end{pmatrix}=2\cdot(0-0)=0.
Logo \tau(t)=0 para todo t. Isso confirma que a curva é planária e que B é constante.]

Passo 10

Interpretação final e observações práticas:
  • Reparametrização por comprimento de arco foi obtida explicitamente por s(t)=\sqrt{5t^{2}+1}-\sqrt6+\ln\!\big(\dfrac{t(1+\sqrt6)}{1+\sqrt{5t^{2}+1}}\big) (com s(1)=0). A inversa t(s) existe mas é pouco prática para escrever fechada; em cálculos de Frenet é suficiente expressar vetores em função de t e lembrar que para obter dependência em s basta substituir t=t(s).
  • O triedro de Frenet em função de t é simples e explícito; o binormal é constante, confirmando \tau=0.

Resposta

Reparametrização por comprimento de arco (com s(1)=0):
s(t)=\sqrt{5t^{2}+1}-\sqrt{6}+\ln\!\left(\dfrac{t(1+\sqrt6)}{1+\sqrt{5t^{2}+1}}\right),\qquad r(s)=\big(2\,t(s),\;t(s),\;\ln t(s)\big).
Vetor tangente unitário:
T(t)=\dfrac{1}{\sqrt{5t^{2}+1}}\,(2t,\;t,\;1).
Vetor normal unitário:
N(t)=\dfrac{1}{\sqrt5\sqrt{5t^{2}+1}}\,(2,\;1,\;-5t).
Vetor binormal (constante):
B(t)=\dfrac{1}{\sqrt5}(-1,\;2,\;0).
Curvatura:
\kappa(t)=\dfrac{\sqrt{5}\,t}{\big(5t^{2}+1\big)^{3/2}}.
Torção:
\tau(t)=0.

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