Para cada uma das parametrizações abaixo, reparametrize pelo comprimento de arco, obtenha o triedro de Frenet, a curvatura e a torção de cada curva. \beta(t)=(2 t, t, \ln t), t \in(0,+\infty).
Passo 1
O enunciado dá a curva parametrizada
\beta(t)=(2t,\;t,\;\ln t),\qquad t\in(0,+\infty),
e pede três coisas:
reparametrizar a curva por comprimento de arco (ou seja, encontrar s em função de t e a reparametrização r(s)=\beta(t(s)));
obter o triedro de Frenet (vetores unitários \,T,N,B\,), idealmente em função do parâmetro de escolha;
calcular a curvatura \kappa e a torção \tau.
Informações dadas importantes:
domínio: t>0;
eu vou precisar das derivadas primeiras, segundas (e terceiras, para a torção) de \beta;
para reparametrizar por comprimento de arco é necessário computar a velocidade \|\beta'(t)\| e integrar para obter s(t).
Passo 2
Calcular as derivadas de \beta. Derivando coordenada a coordenada em relação a t:
\beta'(t)=(2,\;1,\;1/t),
\beta''(t)=(0,\;0,\;-1/t^{2}),
\beta'''(t)=(0,\;0,\;2/t^{3}).
Aqui cada componente foi derivada normalmente: \dfrac{d}{dt}(2t)=2, \dfrac{d}{dt}(\ln t)=1/t, etc.
Passo 3
Calcular a velocidade \|\beta'(t)\| (módulo de \beta'):
cuja primitiva é \operatorname{cosh} w+\ln|\operatorname{tanh}(w/2)|. Voltando a u com \operatorname{sinh} w=\sqrt{5}u e \operatorname{cosh} w=\sqrt{5u^{2}+1}, temos a primitiva
Esta expressão satisfaz s(1)=0. Assim obtemos a função arco s(t) explicitamente. Note que s é monótona crescente em t>0, logo invertível; a inversa t=t(s) existe mas sua expressão explícita é complicada (envolve manipulações com exponenciais e raízes), então manteremos t como parâmetro intermediário quando conveniente.
onde t(s) é a inversa da função s(t) dada no passo anterior. Para utilizar fórmulas de Frenet é suficiente trabalhar com expressões em termos de t (as fórmulas invariantes abaixo permitem isso), lembrando que para passar a depender de s basta substituir t=t(s).
Passo 5
Construir o vetor tangente unitário \,T. Por definição,
T(t)=\frac{\beta'(t)}{\|\beta'(t)\|}.
Usando \beta'(t)=(2,1,1/t) e \|\beta'\|=\dfrac{\sqrt{5t^{2}+1}}{t}, obtemos
Logo \tau(t)=0 para todo t. Isso confirma que a curva é planária e que B é constante.]
Passo 10
Interpretação final e observações práticas:
Reparametrização por comprimento de arco foi obtida explicitamente por s(t)=\sqrt{5t^{2}+1}-\sqrt6+\ln\!\big(\dfrac{t(1+\sqrt6)}{1+\sqrt{5t^{2}+1}}\big) (com s(1)=0). A inversa t(s) existe mas é pouco prática para escrever fechada; em cálculos de Frenet é suficiente expressar vetores em função de t e lembrar que para obter dependência em s basta substituir t=t(s).
O triedro de Frenet em função de t é simples e explícito; o binormal é constante, confirmando \tau=0.
Resposta
Reparametrização por comprimento de arco (com s(1)=0):