Determine a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) dada por y+x \cos y=\cos x no ponto (0,1).
Escolha uma opção:
◯ a. -1
◯ b. 1
◯ c. 0
◯ d. -\cos 1
◯ e. \boldsymbol{\operatorname { c o s }} 1
Passo 1
O enunciado dá a curva implicitamente pela equação
y + x\cos y = \cos x,
e pede a inclinação da reta tangente à curva no ponto (0,1).
Informações relevantes que temos:
A equação da curva: y + x\cos y = \cos x.
O ponto onde queremos a inclinação: (x,y) = (0,1).
O que se pede: a derivada \dfrac{dy}{dx} (que é a inclinação da tangente) avaliada em x=0 com y=1.
Passo 2
Estratégia (explicação didática das regras que vamos usar):
A curva é dada implicitamente por uma relação entre x e y. Logo, para obter \dfrac{dy}{dx} usamos diferenciação implícita: diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, y=y(x)).
Regras que aparecerão:
Regra do produto: para u(x)v(x),\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'v+uv'.Aqui u'=du/dx e v'=dv/dx.
Regra da cadeia: para uma composição f(y(x)),\frac{d}{dx}f(y(x))=f'(y)\cdot \frac{dy}{dx}.Ou seja, deriva-se a função externa em y e multiplica-se por y'.
Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\cos t = -\sin t e \dfrac{d}{dx}x=1.
Notação: escrevo y'=\dfrac{dy}{dx}.
Passo 3
Aplicando diferenciação termo a termo na equação y + x\cos y = \cos x:
Derivada de y em relação a x é y'.
Para x\cos y usamos produto e cadeia: tomando u=x e v=\cos y,\frac{d}{dx}(x\cos y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\cos y + x\cdot\frac{d}{dx}(\cos y) =1\cdot\cos y + x\cdot\big(-\sin y\cdot y'\big).
Derivada do lado direito \cos x é -\sin x.
Portanto, a diferenciação dá a equação
y' + \cos y - x\sin y\;y' = -\sin x.
Passo 4
Isolando y' (agrupando os termos que contêm y'):
Colocando os termos com y' juntos:y'(1 - x\sin y) + \cos y = -\sin x.
Subtraindo \cos y dos dois lados:y'(1 - x\sin y) = -\sin x - \cos y.