Determine a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) dada por y+x \cos y=\cos x no ponto (0,1).
Escolha uma opção:
◯ a. -1
◯ b. 1
◯ c. 0
◯ d. -\cos 1
◯ e. \boldsymbol{\operatorname { c o s }} 1

Passo 1

O enunciado dá a curva implicitamente pela equação
y + x\cos y = \cos x,
e pede a inclinação da reta tangente à curva no ponto (0,1).
Informações relevantes que temos:
  • A equação da curva: y + x\cos y = \cos x.
  • O ponto onde queremos a inclinação: (x,y) = (0,1).
  • O que se pede: a derivada \dfrac{dy}{dx} (que é a inclinação da tangente) avaliada em x=0 com y=1.

Passo 2

Estratégia (explicação didática das regras que vamos usar):
  • A curva é dada implicitamente por uma relação entre x e y. Logo, para obter \dfrac{dy}{dx} usamos diferenciação implícita: diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, y=y(x)).
  • Regras que aparecerão:
    • Regra do produto: para u(x)v(x), \frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'v+uv'.Aqui u'=du/dx e v'=dv/dx.
    • Regra da cadeia: para uma composição f(y(x)), \frac{d}{dx}f(y(x))=f'(y)\cdot \frac{dy}{dx}.Ou seja, deriva-se a função externa em y e multiplica-se por y'.
    • Derivadas básicas: \dfrac{d}{dx}\cos t = -\sin t e \dfrac{d}{dx}x=1.
  • Notação: escrevo y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 3

Aplicando diferenciação termo a termo na equação y + x\cos y = \cos x:
  • Derivada de y em relação a x é y'.
  • Para x\cos y usamos produto e cadeia: tomando u=x e v=\cos y, \frac{d}{dx}(x\cos y)=\frac{d}{dx}(x)\cdot\cos y + x\cdot\frac{d}{dx}(\cos y) =1\cdot\cos y + x\cdot\big(-\sin y\cdot y'\big).
  • Derivada do lado direito \cos x é -\sin x.
    Portanto, a diferenciação dá a equação
y' + \cos y - x\sin y\;y' = -\sin x.

Passo 4

Isolando y' (agrupando os termos que contêm y'):
  • Colocando os termos com y' juntos: y'(1 - x\sin y) + \cos y = -\sin x.
  • Subtraindo \cos y dos dois lados: y'(1 - x\sin y) = -\sin x - \cos y.
  • Finalmente, isolando y': y' = \frac{-\sin x - \cos y}{1 - x\sin y}.

Passo 5

Avaliar a expressão de y' no ponto (0,1):
  • Calcular os valores necessários: \sin 0 = 0,\qquad x\sin y\big|_{(0,1)} = 0\cdot\sin 1 = 0.
  • Substituindo em y' = \frac{-\sin x - \cos y}{1 - x\sin y},obtemos y'\big|_{(0,1)} = \frac{-\sin 0 - \cos 1}{1 - 0} = \frac{0 - \cos 1}{1} = -\cos 1.
Portanto a inclinação da reta tangente no ponto (0,1) é -\cos 1.

Resposta

d. -\cos 1

Exercícios relacionados