Para cada um dos pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana removendo o parâmetro t.
x=e^{t} \quad y=e^{-t} \quad t \in R

Passo 1

O enunciado fornece as parametrizações
x=e^{t},\qquad y=e^{-t},\qquad t\in\mathbb{R},
e pede duas coisas: esboçar a curva e determinar a equação cartesiana (eliminar o parâmetro t). Informações relevantes dadas:
  • As expressões de x e y em função de t.
  • O parâmetro t varia por todos os reais, t\in\mathbb{R}.
  • Como e^{t}>0 para todo t, os pontos gerados têm x>0 e y>0.

Passo 2

Método direto: multiplicar as duas expressões para eliminar t.
xy = e^{t}\cdot e^{-t} = e^{t-t} = e^{0} = 1.
Portanto obtemos a equação cartesiana
xy = 1.

Passo 3

Verificação alternativa (útil em provas): resolver uma das equações para t e substituir na outra. A partir de x=e^{t} segue
t=\ln(x),
válido somente para x>0. Substituindo em y=e^{-t}
y=e^{-\ln(x)} = e^{\ln(x^{-1})} = x^{-1}=\frac{1}{x},
que é algebraicamente equivalente a xy=1. Aqui foi usada a propriedade e^{\ln(a)}=a para a>0.

Passo 4

Domínio e formato da curva:
  • Como já observado, x>0 e y>0 para todo t. Logo a curva está inteira no primeiro quadrante.
  • A equação \,xy=1\, representa uma hipérbole retangular (uma hipérbole equilátera) cujas assíntotas são os eixos coordenados x=0 e y=0.

Passo 5

Comportamento e orientação (importante para o esboço):
  • Quando t\to -\infty: x=e^{t}\to 0^{+} e y=e^{-t}\to +\infty. Ou seja, a curva aproxima-se do eixo y para y grande.
  • Quando t=0: (x,y)=(1,1) — ponto central fácil de marcar no esboço.
  • Quando t\to +\infty: x=e^{t}\to +\infty e y=e^{-t}\to 0^{+}. A curva aproxima-se do eixo x para x grande.
    Portanto, à medida que t aumenta, o ponto se move ao longo da hipérbole do alto próximo ao eixo y para a direita próximo ao eixo x.

Passo 6

Como esboçar na prova (passos práticos):
  • Desenhe os eixos x e y.
  • Marque o ponto (1,1).
  • Desenhe a curva hiperbólica y=1/x somente no primeiro quadrante, com assíntotas nos eixos.
  • Indique a orientação com uma seta partindo da região próxima a (0^{+},+\infty) passando por (1,1) em direção a (+\infty,0^{+}).
  • Pontos auxiliares: para t=1 tem-se (e,e^{-1})\approx(2{,}718,0{,}368); para t=-1 tem-se (e^{-1},e)\approx(0{,}368,2{,}718). Use-os para dar forma correta à curva.

Resposta

Equação cartesiana: xy=1 (ou y=\dfrac{1}{x}), com x>0,\;y>0.
Esboço: hipérbole no primeiro quadrante com assíntotas x=0 e y=0; percurso quando t aumenta vai de (0^{+},+\infty) para (+\infty,0^{+}).

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