Para cada um dos pares de equações paramétricas, esboce a curva e determine sua equação cartesiana removendo o parâmetro
.
Passo 1
O enunciado fornece as parametrizações
e pede duas coisas: esboçar a curva e determinar a equação cartesiana (eliminar o parâmetro
). Informações relevantes dadas:
- As expressões de
e em função de . - O parâmetro
varia por todos os reais, . - Como
para todo , os pontos gerados têm e .
Passo 2
Método direto: multiplicar as duas expressões para eliminar
.
Portanto obtemos a equação cartesiana
Passo 3
Verificação alternativa (útil em provas): resolver uma das equações para
e substituir na outra. A partir de
segue
válido somente para
. Substituindo em
dá
que é algebraicamente equivalente a
. Aqui foi usada a propriedade
para
.
Passo 4
Domínio e formato da curva:
- Como já observado,
e para todo . Logo a curva está inteira no primeiro quadrante. - A equação
representa uma hipérbole retangular (uma hipérbole equilátera) cujas assíntotas são os eixos coordenados e .
Passo 5
Comportamento e orientação (importante para o esboço):
- Quando
: e . Ou seja, a curva aproxima-se do eixo para grande. - Quando
: — ponto central fácil de marcar no esboço. - Quando
: e . A curva aproxima-se do eixo para grande.
Portanto, à medida queaumenta, o ponto se move ao longo da hipérbole do alto próximo ao eixo para a direita próximo ao eixo .
Passo 6
Como esboçar na prova (passos práticos):
- Desenhe os eixos
e . - Marque o ponto
. - Desenhe a curva hiperbólica
somente no primeiro quadrante, com assíntotas nos eixos. - Indique a orientação com uma seta partindo da região próxima a
passando por em direção a . - Pontos auxiliares: para
tem-se ; para tem-se . Use-os para dar forma correta à curva.
Resposta
Equação cartesiana:
(ou
), com
.
Esboço: hipérbole no primeiro quadrante com assíntotas e
; percurso quando
aumenta vai de
para
.
Esboço: hipérbole no primeiro quadrante com assíntotas