Determine a função derivada das funções.
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a derivada da função
Informações relevantes fornecidas:
- A função no numerador é
. - O denominador é
. Observação: aqui refere-se à cossecante, que em notação usual em TeX é (ou seja, ). - Domínio implicado: é necessário
(para existir) e também (para o denominador não anular). A derivada será válida onde a função está definida. - O pedido é apenas a derivada
.
Passo 2
Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Derivada de uma exponencial de base
:
Aqui,
, então a derivada de
é
.
Exemplo rápido: a derivada de é
.
Exemplo rápido: a derivada de
- Derivada do quociente (regra do quociente):
Isso é uma aplicação direta do produto e da derivada composta. Pense: “derivo o numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador”.
- Derivada do produto:
Usaremos isso para derivar
.
- Derivada da cossecante:
Justificativa curta:
, aplicando a regra da cadeia obtém-se
, que é
.
Com essas regras já temos todas as peças.
Passo 3
Identificamos as funções para aplicar a regra do quociente:
Derivada de
:
Agora calculamos
. Como
com
, temos
. Usamos a regra do produto para
:
Calculando cada termo:
Portanto
Assim
Passo 4
Aplicamos a regra do quociente:
Agora fazemos uma simplificação algébrica para deixar a expressão mais compacta: fatoramos
no numerador:
Expandindo o que está entre colchetes:
Agrupando os termos que têm fator
, obtemos
Portanto uma forma bem compacta e útil para a prova é
Passo 5
Observações finais e domínio:
- A expressão acima vale para todos
tais que (para existir) e (para o denominador não ser zero). - Em prova, se pedirem domínio de derivabilidade, cite essas duas condições.
- Se quiseres, na hora podes deixar a resposta na forma fatorada anterior (com o fator
) ou na forma sem fator comum — ambas estão corretas.