Determine a função derivada das funções.
f(x)=\frac{7^{x}}{1+e^{x} . \operatorname{cossec} x}.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a derivada da função
f(x)=\frac{7^{x}}{1+e^{x}\,\operatorname{cossec}x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função no numerador é 7^{x}.
  • O denominador é 1+e^{x}\,\operatorname{cossec}x. Observação: aqui \operatorname{cossec}x refere-se à cossecante, que em notação usual em TeX é \csc x (ou seja, \csc x = \dfrac{1}{\sin x}).
  • Domínio implicado: é necessário \sin x \neq 0 (para \csc x existir) e também 1+e^{x}\csc x \neq 0 (para o denominador não anular). A derivada será válida onde a função está definida.
  • O pedido é apenas a derivada f'(x).

Passo 2

Vamos lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicadas de forma didática):
  1. Derivada de uma exponencial de base a>0:
\text{Se }u(x)=a^{x}\text{ então }u'(x)=a^{x}\ln a.ã
Aqui, a=7, então a derivada de 7^{x} é 7^{x}\ln 7.
Exemplo rápido: a derivada de 2^{x} é 2^{x}\ln 2.
  1. Derivada do quociente (regra do quociente):
\text{Se }f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}\text{ então }f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}}.ã
Isso é uma aplicação direta do produto e da derivada composta. Pense: “derivo o numerador vezes denominador menos numerador vezes derivada do denominador, tudo dividido pelo quadrado do denominador”.
  1. Derivada do produto:
(uv)'=u'v+uv'.
Usaremos isso para derivar e^{x}\csc x.
  1. Derivada da cossecante:
\text{Se }g(x)=\csc x\text{ então }g'(x)=-\csc x\cot x.ã
Justificativa curta: \csc x = (\sin x)^{-1}, aplicando a regra da cadeia obtém-se -\cos x/\sin^{2}x, que é -\csc x\cot x.
Com essas regras já temos todas as peças.

Passo 3

Identificamos as funções para aplicar a regra do quociente:
u(x)=7^{x},\qquad v(x)=1+e^{x}\csc x.
Derivada de u:
u'(x)=7^{x}\ln 7.
Agora calculamos v'(x). Como v(x)=1 + h(x) com h(x)=e^{x}\csc x, temos v'(x)=h'(x). Usamos a regra do produto para h(x)=e^{x}\csc x:
h'(x)=(e^{x})' \csc x + e^{x}(\csc x)'.
Calculando cada termo:
(e^{x})' = e^{x}, \qquad (\csc x)' = -\csc x\cot x.
Portanto
h'(x)=e^{x}\csc x + e^{x}\bigl(-\csc x\cot x\bigr) = e^{x}\csc x\bigl(1-\cot x\bigr).
Assim
v'(x)=e^{x}\csc x\bigl(1-\cot x\bigr).

Passo 4

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^{2}} =\frac{7^{x}\ln 7\bigl(1+e^{x}\csc x\bigr)-7^{x}\bigl[e^{x}\csc x(1-\cot x)\bigr]}{\bigl(1+e^{x}\csc x\bigr)^{2}}.
Agora fazemos uma simplificação algébrica para deixar a expressão mais compacta: fatoramos 7^{x} no numerador:
f'(x)=\frac{7^{x}\Bigl[\ln 7\bigl(1+e^{x}\csc x\bigr)-e^{x}\csc x(1-\cot x)\Bigr]}{\bigl(1+e^{x}\csc x\bigr)^{2}}.
Expandindo o que está entre colchetes:
\ln 7 + \ln 7\,e^{x}\csc x - e^{x}\csc x + e^{x}\csc x\cot x.
Agrupando os termos que têm fator e^{x}\csc x, obtemos
\ln 7 + e^{x}\csc x\bigl(\ln 7 -1 + \cot x\bigr).
Portanto uma forma bem compacta e útil para a prova é
f'(x)=\frac{7^{x}\Bigl[\ln 7 + e^{x}\csc x\bigl(\ln 7 -1 + \cot x\bigr)\Bigr]}{\bigl(1+e^{x}\csc x\bigr)^{2}}.

Passo 5

Observações finais e domínio:
  • A expressão acima vale para todos x tais que \sin x\neq 0 (para \csc x existir) e 1+e^{x}\csc x\neq 0 (para o denominador não ser zero).
  • Em prova, se pedirem domínio de derivabilidade, cite essas duas condições.
  • Se quiseres, na hora podes deixar a resposta na forma fatorada anterior (com o fator 7^{x}) ou na forma sem fator comum — ambas estão corretas.

Resposta

f'(x)=\frac{7^{x}\Bigl[\ln 7 + e^{x}\csc x\bigl(\ln 7 -1 + \cot x\bigr)\Bigr]}{\bigl(1+e^{x}\csc x\bigr)^{2}}

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