Em cada parte é dada uma matriz em forma escalonada por linhas. Por inspeção, encontre bases dos espaço linha e coluna de A. \left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede: “Por inspeção, encontre bases do espaço linha e do espaço coluna de A.”
A matriz dada é
A matriz já está em forma escalonada por linhas (row-echelon).
As linhas são \,(1,0,2),\;(0,0,1),\;(0,0,0)\,.
As colunas são \displaystyle \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.]
Passo 2
Definição e ideia para o espaço linha: o espaço linha de A é o subespaço gerado (span) pelas linhas de A, isto é, todas as combinações lineares das linhas. Uma propriedade importante: operações elementares por linhas (o que leva a uma forma escalonada) preservam o espaço linha. Portanto, nas matrizes em forma escalonada, as linhas não nulas formam um gerador do espaço linha. Para obter uma base, precisamos dessas linhas não nulas serem linearmente independentes — na forma escalonada isso geralmente ocorre devido aos pivôs em colunas diferentes.
Aplicando isso aqui: as linhas não nulas são \,(1,0,2) e \,(0,0,1). Vou verificar que são linearmente independentes: suponha
\alpha\,(1,0,2)+\beta\,(0,0,1)=(0,0,0).
Escrevendo coordenada a coordenada:
primeira coordenada: \alpha=0,
segunda coordenada: 0=0 (não traz informação),
terceira coordenada: 2\alpha+\beta=0.
Com \alpha=0 da primeira coordenada, a terceira dá \beta=0. Logo \alpha=\beta=0, só a combinação trivial zera — portanto são independentes. Conclusão: as duas linhas não nulas formam uma base do espaço linha.
Passo 3
Definição e ideia para o espaço coluna: o espaço coluna de A é o subespaço gerado pelas colunas de A. Diferente do espaço linha, operações elementares por linhas não preservam o espaço coluna; porém existe um procedimento prático: os pivôs (colunas que contêm os primeiros elementos não nulos de cada linha na forma escalonada) indicam quais colunas da matriz original formam uma base do espaço coluna. Ou seja, escolher as colunas originais correspondentes às colunas-pivô da forma escalonada dá uma base para o espaço coluna.
Na matriz dada, os pivôs aparecem em:
linha 1, coluna 1 (valor 1),
linha 2, coluna 3 (valor 1).
Portanto as colunas-pivô são as colunas 1 e 3. Pegamos essas colunas da matriz original:
Isso dá o sistema \alpha+2\beta=0 e \beta=0. Da segunda equação \beta=0, então da primeira \alpha=0. Logo são linearmente independentes. Também geram todas as colunas da matriz: a coluna 2 é o vetor zero (que é combinação trivial), e a coluna 3 já está na base; assim todas as colunas são combinações de \mathbf{c}_1,\mathbf{c}_3. Portanto \{\mathbf{c}_1,\mathbf{c}_3\} é uma base do espaço coluna.
Passo 4
Resumo e comentário sobre dimensão (útil na prova): o número de vetores em cada base é 2. Isso significa que \operatorname{rank}(A)=2. É sempre bom checar que a quantidade de pivôs (aqui 2) coincide com a dimensão do espaço linha e do espaço coluna.
Resposta
Base do espaço linha: \{(1,0,2),\;(0,0,1)\}
Base do espaço coluna: \left\{\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix}\right\}\]