Em cada parte é dada uma matriz em forma escalonada por linhas. Por inspeção, encontre bases dos espaço linha e coluna de A.
\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 5 \\\\ 0 & 1 & 4 & 3 \\\\ 0 & 0 & 1 & -7 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede: "Por inspeção, encontre bases do espaço linha e do espaço coluna de A". A matriz dada é
A=\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 5\\[4pt] 0 & 1 & 4 & 3\\[4pt] 0 & 0 & 1 & -7\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz já está em forma escalonada por linhas (row-echelon form).
  • Temos quatro linhas e quatro colunas (matriz 4\times4).
  • Perguntas: encontrar (1) uma base do espaço linha (row space) e (2) uma base do espaço coluna (column space) de A.]

Passo 2

Definições e ideia prática (explicação leve para a prova):
  • Espaço linha: é o subespaço de \mathbb{R}^4 (pois as linhas têm 4 entradas) gerado pelas linhas de A. Em notação,
\text{Row}(A)=\text{span}\{\,\text{linhas de }A\,\}.
  • Espaço coluna: é o subespaço de \mathbb{R}^4 gerado pelas colunas de A:
\text{Col}(A)=\text{span}\{\,\text{colunas de }A\,\}.
Regra prática importante (útil na prova): quando a matriz está em forma escalonada por linhas,
  • as linhas não nulas são linearmente independentes e formam uma base do espaço linha;
  • as colunas que contêm os pivôs (as primeiras entradas não-nulas de cada linha) da matriz original formam uma base do espaço coluna.
Vou provar de maneira simples por que isso funciona, para você poder justificar na prova.

Passo 3

Por que as linhas não-nulas em forma escalonada são linearmente independentes? (explicação passo a passo)
  • Em forma escalonada, a primeira linha não-nula tem seu primeiro elemento não-nulo em alguma coluna j_1. A segunda linha não-nula tem seu primeiro elemento não-nulo em uma coluna j_2>j_1, e assim por diante — cada linha não-nula tem seu “pivô” em uma coluna à direita do pivô da linha anterior.
  • Suponha que haja uma combinação linear nula:
c_1 r_1 + c_2 r_2 + \cdots + c_k r_k = 0,
onde r_1,\dots,r_k são as linhas não-nulas (na ordem escalonada). Olhe a coluna j_1 do lado esquerdo: somente r_1 tem entrada não-nula ali, logo o coeficiente c_1 precisa ser zero. Com c_1=0, olhe a coluna j_2: só r_2 contribui, então c_2=0. Repetindo, todos os c_i são zero. Logo as linhas são linearmente independentes.
  • Conclusão prática: se a matriz está escalonada por linhas, as linhas não-nulas já formam uma base do espaço linha.

Passo 4

Aplicando isso à nossa matriz A:
As quatro linhas são todas não-nulas e, pela forma escalonada mostrada, cada linha tem um pivô numa nova coluna (linha 1 pivô na coluna 1, linha 2 pivô na coluna 2, linha 3 pivô na coluna 3, linha 4 pivô na coluna 4). Portanto as linhas são linearmente independentes e geram o espaço linha. Assim uma base para \text{Row}(A) é o conjunto das 4 linhas:
r_1=(1,\,2,\,-1,\,5),\qquad r_2=(0,\,1,\,4,\,3),\qquad r_3=(0,\,0,\,1,\,-7),\qquad r_4=(0,\,0,\,0,\,1).
Esses quatro vetores formam uma base de \text{Row}(A).

Passo 5

Por que as colunas-pivô da matriz original formam uma base do espaço coluna? (explicação)
  • Uma coluna-pivô é uma coluna que contém o primeiro elemento não-nulo (pivô) de alguma linha escalonada. Colunas-pivô correspondem a posições onde há independência: cada coluna-pivô possui uma linha onde ela é a única coluna com entrada não-nula naquela posição (o pivô), tornando possível usar o mesmo argumento de eliminação para mostrar independência.
  • Formalmente, se você tomar as colunas c_{j_1},c_{j_2},\dots correspondentes aos pivôs, qualquer combinação linear nula força os coeficientes a serem zero olhando as linhas dos pivôs na ordem, portanto são linearmente independentes.
  • Além disso, qualquer coluna da matriz pode ser escrita como combinação linear das colunas-pivô (porque o escalonamento mostra como cada coluna “depende” das colunas-pivô), então as colunas-pivô geram \text{Col}(A).
  • Conclusão prática: as colunas que têm pivôs (colunas 1,2,3,4 neste caso) formam uma base de \text{Col}(A).

Passo 6

Aplicando isso à nossa matriz A:
  • Observando a matriz escalonada, os pivôs aparecem nas colunas 1,2,3,4 (cada linha tem um pivô em uma coluna nova). Logo todas as colunas são colunas-pivô.
  • Portanto uma base para \text{Col}(A) é o conjunto das colunas da matriz. Escrevendo explicitamente as colunas como vetores em \mathbb{R}^4:
c_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_2=\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_3=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]4\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix},\qquad c_4=\begin{pmatrix}5\\[4pt]3\\[4pt]-7\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Esses quatro vetores são linearmente independentes e geram \text{Col}(A), portanto formam uma base de \text{Col}(A).]

Resposta

Base do espaço linha: (1,\,2,\,-1,\,5),\\ (0,\,1,\,4,\,3),\\ (0,\,0,\,1,\,-7),\\ (0,\,0,\,0,\,1)
Base do espaço coluna:
\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}-1\\\ 4\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}5\\\ 3\\\ -7\\\ 1\end{pmatrix}

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