Em cada parte, determine se a integral é imprópria e, caso positivo, dê a razão disso. Não calcule as integrais.
\int_{\pi / 4}^{3 \pi / 4} \operatorname{cotg} x dx

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral
\int_{\pi/4}^{3\pi/4}\cot x\,dx
e decidir se ela é imprópria. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias por singularidade no integrando: precisamos verificar se há pontos em que \cot x deixe de ser contínua no intervalo de integração.

Passo 2

Lembrando que
\cot x = \frac{\cos x}{\sin x},
os pontos de descontinuidade ocorrem onde \sin x = 0, isto é, em
x = k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Devemos ver se algum k\pi pertence ao intervalo [\pi/4,\,3\pi/4].
Para k=0, 0<\pi/4.
Para k=1, \pi>3\pi/4.
Não há nenhum k\pi dentro de [\pi/4,\,3\pi/4], nem nos extremos. Logo, \cot x é contínua nesse intervalo fechado.

Resposta

A integral é própria, pois o integrando \cot x não tem descontinuidades em [\pi/4,\,3\pi/4].

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